En mathématiques, laccélération de suite est une méthode de transformation de suites ou de série numérique visant à améliorer la vitesse de convergence d'une série. Des techniques d'accélération sont souvent utilisées en analyse numérique, afin d'améliorer la rapidité de méthodes d'intégration numérique ou obtenir des identités sur des fonctions spéciales. Par exemple, la transformation d'Euler appliquée à la série hypergéométrique permet de retrouver plusieurs identités connues.

Définition On considère une suite

de limite

alors une suite accélérée est une deuxième suite

qui converge plus vite vers que la première, ce qui se traduit par :

Si la suite diverge, la transformation agit comme une méthode d'extrapolation vers l'antilimite .

Les prolongements de la série originale vers la transformée peuvent être linéaires ou non. En général, les transformations non linéaires ont tendance à être plus efficaces.

Présentation générale Les techniques classiques d'accélération de séries sont les transformations d'Euler (ou binomiale), 3, eqn 3.6.27, 16 et de ; 3, eqn 3.6.26, 16, et les méthodes de sommation (Césàro, Hölder, Toeplitz...), qui ont pour avantage d'être linéaires.

Une variété de méthodes plus rapides et spéciales ont été développées au , dont l'extrapolation de Richardson, introduite par Lewis Fry Richardson au début du mais aussi connue et utilisée par Katahiro Takebe en 1722, la méthode delta-2 d'Aitken, introduite par Alexander Aitken en 1926 mais aussi connue de Takakazu Seki au , l'epsilon algorithme de Peter Wynn en 1956, la transformation en u de Levin. et la méthode de Wilf-Zeilberger-Ekhad utilisant des identités hypergéométriques.

Pour les séries alternées, plusieurs techniques puissantes, donnant des vitesses de convergence de jusqu'à pour une sommation de termes, décrites par Cohen et al...

Exemple Un exemple historique d'accélération de série a été appliquée au calcul de la constante d'Euler-Mascheroni :

Ces séries convergent très lentement (seuls trois décimales exactes après calcul du terme). La formule d'Euler-Maclaurin appliquée à la fonction logarithme permet d'obtenir l'égalité :

avec , les nombres de Bernoulli. Par cette méthode, les calculs ont pu aller jusqu'à la décimale.

Transformations linéaires Une méthode de transformation linéaire de suites consiste à associer à la suite une suite de la forme

Elles ont l'avantage d'être indépendantes de la suite d'origine : les poids dans la somme sont constants et indépendants des valeurs de .

Les suites transformées ont une convergence accélérée si la suites d'origine est déjà convergente ou si les derniers termes ont les poids les plus forts. Exemple La transformation binomiale est plutôt bien adaptée pour les séries alternées, on applique :

où est l'opérateur de différentiation amont :

Si la première série converge lentement, la deuxième a une vitesse bien plus forte.

Une façon particulièrement efficace d'implémenter numériquement la transformation binomiale est la (voir section 5.1)..

Prolongements conformes Une série

peut être vue comme l'évaluation en d'une fonction définie par :

La fonction peut avoir des singularités sur le plan complexe qui borne le rayon de convergence de la série. Si le point est proche de la frontière du disque de convergence, la série converge lentement. On peut alors améliorer la convergence de la série par un prolongement conforme qui déplace les singularités de sorte que le point soit plus loin du nouveau disque de convergence.

Le prolongement conforme doit vérifier , et on choisit de préférence une fonction de dérivée finie en . On peut aussi choisir sans perte de généralité, car on peut changer l'échelle de pour redéfinir . On considère alors la fonction

L'égalité implique . Le développement en série de en fixant dans le développement en série de car ; les premiers termes du développement en série de permettront d'obtenir les premiers termes du développement en série de si . Fixer dans le développement en série permettra d'obtenir une nouvelle série qui, si elle converge, convergera vers la même valeur que la série originale.

Transformations non linéaires de suites

Parmi les transformations non linéaires de suites, on trouve les approximants de Padé, la transformation de Shanks et les transformations de suites de Levin.

Les transformations non linéaires de suites donnent des méthodes numériques pour la sommation de séries divergentes ou asymptotiques telles qu'en apparaissent dans la théorie des perturbations, et peuvent servir de méthodes d'extrapolation très efficaces.

Méthode d'Aitken

Une transformation non linéaire de suite est l'extrapolation d'Aitken ou la méthode Delta-2 :

définie par

Cette transformation est utilisée pour augmenter le taux de convergence d'une suite convergeant lentement ; heuristiquement, elle élimine la plus grande partie de l'erreur absolue.

Notes et références

Voir aussi Bibliographie C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, Extrapolation Methods. Theory and Practice, North-Holland, 1991. G. A. Baker Jr. and P. Graves-Morris, Padé Approximants, Cambridge U.P., 1996.

, .

Articles connexes Transformation de Shanks

Transformation de van Wijngaarden Sommation d'Ewald

Liens externes Convergence acceleration of series GNU Scientific Library, Series Acceleration Digital Library of Mathematical Functions

Catégorie:Analyse numérique