En géométrie, un segment sphérique est le solide défini en coupant une boule avec une paire de plans parallèles.
La surface du segment sphérique à l'exclusion des bases est appelée zone sphérique. Le segment sphérique est donc la partie de l’espace limitée par une zone sphérique et deux disques.
Volume d'un segment sphérique On suppose que les deux plans sont situés du même côté d'un plan diamétral pris comme plan du repère . Si l'on note le rayon de la sphère, les rayons des bases du segment sphérique, leurs cotes, et la hauteur du segment sphérique, le volume de ce dernier est :
Lorsqu'un des plans est tangent à la sphère, on parle de segment sphérique à une baseDOSSIER : SPHERE ( 3 /3 ): calcul d’aire et volume. La surface du segment sphérique à une base à l'exclusion de la base est appelée calotte sphérique. Le segment sphérique à une base est donc la partie de l’espace limitée par une calotte sphérique et un disque.
Le volume du segment sphérique à une base est alors :
Démonstrations du calcul du volume droite|400x400px L'expression ci-dessus peut s'obtenir par le calcul intégral, mais aussi en utilisant le principe de Cavalieri.
On insère un cône circulaire comme indiqué ci-contre, et on montre que les aires des couronnes circulaires jaune et violette à la cote ci-contre sont égales : pour la première et pour la seconde.
Or le volume du tronc de cône jaune indiqué ci-contre est .
D'après le principe de Cavalieri, ce volume est égal au volume violet.
Le volume du segment sphérique est donc, par différence, .
En développant, on a : .
Comme , par différence, ; on obtient alors : .
On obtient .
Références
Voir aussi
Zone sphérique Volume d'une boule Formulaire de géométrie classique
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