En arithmétique, l'équation de Fermat généralisée est l'équationoù sont des entiers non nuls, sont des entiers non nuls premiers entre eux et sont entiers.
Comme son nom le laisse transparaître, cette équation généralise l'équation dont le fameux dernier théorème de Fermat établit l'impossibilité quand . À l'instar de celui-ci avant sa résolution, son principal intérêt réside aujourd'hui dans la stimulation du développement des nouveaux outils mathématiques nécessaires à son appréhension. Parmi ces outils, se trouvent les courbes de Frey, les formes modulaires et les représentations de Galois. À ce titre, le sujet des équations de Fermat généralisées profite fortement des ponts jetés entre arithmétique et théorie des représentations par le programme de Langlands. Certaines approches cyclotomiques ont aussi été avancées, mais aucune ne semble suffisamment puissante.
L'équation de Fermat généralisée se réfère parfois à la seule équation ou à la seule équation . Cette dernière est la plus étudiée et au moins deux conjectures non résolues s'y rapportent : la conjecture de Fermat-Catalan et la conjecture de Beal.
Définitions On appelle la signature et la caractéristique de l'équation . On distingue plusieurs grands cas selon la caractéristique, nommés par analogie avec la classification des espaces selon leur courbure :
, le cas sphérique. est à permutation près ou . , le cas euclidien (ou parabolique). est à permutation près , ou . , le cas hyperbolique.
De par le nombre relativement faible de valeurs de les concernant, les cas sphérique et euclidien sont aujourd'hui bien compris. Le cas hyperbolique est donc celui qui fait l'objet du plus de recherches.
Conjectures
Conjecture de Fermat-Catalan
La conjecture de Fermat-Catalan ou conjecture de Fermat généralisée s'énonceIl est nécessaire de demander une infinité de valeurs pour et non une infinité de valeurs pour car fournit cette infinité sans être toutefois intéressant.
Dix solutions à cette équation sont connues de nos jours. Voir Cas hyperbolique.
Henri Darmon offrira dollars canadiens à quiconque trouvera une nouvelle solution à .
Conjecture de Beal La conjecture de Beal s'énonce
Autrement dit, la conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de l'équation de Fermat généralisée avec utilisent au moins une fois comme exposant.
Elle porte le nom d'Andrew Beal, banquier millionnaire américain et mathématicien amateur, qui la formula en 1993 dans un but de généralisation du dernier théorème de Fermat. Il l'a dotée en 1997 d'un prix monétaire en échange d'une preuve ou d'un contre-exemple. Le prix, qui s'élève aujourd'hui à 1 million de dollars, est détenu par la Société Américaine de Mathématiques.
Elle est parfois aussi appelée conjecture de Tijdeman et Zagier car eux aussi l'ont formulée en 1994. Si Andrew Beal l'a vraisemblablement formulée indépendamment, des questions très proches étaient déjà discutées par les chercheurs du domaine si bien que son origine exacte reste incertaine. Certains auteurs la font remonter à des discussions d'Andrew Granville datant de 1985.
Relations avec d'autres conjectures La conjecture de Beal implique le dernier théorème de Fermat. En effet, à toute solution de correspond une solution respectant . Elle s'obtient en divisant par leur plus grand facteur commun.
La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan et implique la conjecture de Beal à un nombre fini d'exceptions près.
Remarques générales Quand apparait comme exposant, il peut être toujours remplacé par pour tout entier naturel puisqu'une puissance -ième est aussi une puissance -ième. Cela permet souvent de ne traiter que les cas et .
Si , la condition équivaut à la condition car tout entier divisant facteur de deux termes parmi divise aussi le troisième.
Si , alors
et jouent des rôles symétriques et peuvent donc être échangés. Si est impair, alors résoudre l'équation de signature équivaut à résoudre celle de signature en remplaçant par . Ensemble, ces deux remarques font que, si au moins deux entiers parmi sont impairs, l'équation de signature équivaut à toutes celles dont la signature est une permutation de .
La condition est là pour éviter qu'un terme de l'équation ne disparaisse. Dans le cas où il n'y a que deux termes, l'équation est très facile à résoudre.
La condition s'explique par le fait qu'on peut obtenir facilement d'au moins deux manières une infinité de solutions inintéressantes :
si sont premiers entre eux, alors il existe par le théorème des restes chinois tels que de sorte qu'à tous tels que on puisse associer une solution de l'équation de Fermat généralisée (qui s'obtient en multipliant les deux membres de l'égalité par ). À toute solution correspond une infinité de solutions définies par .
Les tableaux de résultat sur cette page ne consignent que les solutions primitives non triviales. Lorsque l'exposant est pair, les différents signes sont omis. On utilisera la notation pour signifier que toutes les permutations de sont considérées.
Cas sphérique Frits Beukers a démontré que, à fixé, soit il n'y a aucune solution, soit il y en a une infinité.
Si , on dispose d'un nombre fini de paramétrisations polynomiales à coefficients entiers à deux variables générant toutes les solutions : sous-casdateauteursnotes ( sont des entiers non nuls premiers entre eux)Les solutions sont les triplets pythagoriciens : quelconqueUne paramétrisation : . Voir Théorème des deux carrés de FermatC'est un cas facile à résoudreLouis MordellDon Zagier4 paramétrisations polynomiales2004Johnny Edwards27 paramétrisations polynomiales
Cas euclidien Si , on a les résultats suivants sous-casdateauteursnotes2014Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh YazdaniUne solution, ~1640Pierre de FermatAucune solution. Voir Théorème de Fermat sur les triangles rectangles1738Leonhard Euler1760Aucune solution. Découle du dernier théorème de Fermat
Cas hyperbolique
Le théorème de Darmon-Granville assure qu'il n'y a qu'un nombre fini de solutions à l'équation à fixé si .
Alain Kraus donne des bornes supérieures explicites (dépendant de ) sur les nombres premiers tels que l'équation a des solutions primitives non triviales.
Dong Quan Ngoc Nguyen a montré en 2012, en utilisant l', que, pour tout , il existe une infinité de courbes de Fermat généralisées de signature violant le principe de Hasse ; c'est-à-dire qu'il existe une infinité de triplets tels que l'équation a des solutions dans pour tout nombre premier mais aucune solution dans .
Cas (A, B, C) = (1, 1, -1)
Résultats partiels quand min(p, q, r) = 2 Quand , l'équation admet toujours la solution dite de Catalan . Celle-ci est systématiquement omise dans le tableau ci-dessous. + Cas traités quand sous-casdateauteursnotes2005Bjorn Poonen, Edward Schaefer, Michael Stoll4 solutions non-Catalan2003Nils BruinUne solution non-Catalan, 2017Nuno Freitas, Bartosz Naskręcki, Michael StollAucune solution non-CatalanPartiellement résolu2013Samir Siksek, Michael StollAucune solution non-Catalan2013Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani2003Nils BruinUne solution non-Catalan,2009David BrownAucune solution2008Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. Ng2 solutions, et 2003Jordan EllenbergAucune solution voir ci-dessousNils Bruin2003Nils Bruin1997Nils Bruin2011Michael Bennett, Imin ChenAucune solution voir ci-dessusUne solution, 2011Sander DahmenAucune solution2014Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani2007Imin ChenAucune solution.
Il suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs2010Imin ChenAucune solution2014Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh YazdaniAucune solution non-CatalanLeonhard EulerAucune solution1998Bjorn Poonen1995Henri Darmon, Loïc Merel
Résultats partiels quand p, q, r ≥ 3 ou est impossible en vertu de la conjecture de Catalan, démontrée par Preda Mihăilescu en 2002. est impossible pour des raisons similaires. Les résultats partiels suivants sont pertinents pour l'établissement de la conjecture de Beal. Si elle est vraie, il n'y a aucune solution non triviale quand . L'inexistence de solutions n'est donc pas rappelée à chaque ligne. + Cas traités quand sous-casdateauteursnotes1825Dirichlet1994Andrew WilesC'est le dernier théorème de Fermat1873Édouard Lucas1998Bjorn Poonen1995Henri Darmon, Loïc Merel2000Nils BruinPartiellement résolu1998Alain KrausIl suffit que respecte une condition simple, vérifiée numériquement pour les petites valeurs2008Imin Chen, Samir SiksekAmélioration de la condition de Kraus et vérification numérique2016Nuno Freitas2014Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdanid'autres conditions de modulo2011Samir Siksek, Michael Stoll voir sous-cas2003Luis Dieulefait voir sous-cas1993Henri Darmon voir sous-cas1998Bjorn Poonen2007Nicolas Billerey2013Sander Dahmen, Samir SiksekPreuve conditionnelle supposant l'hypothèse de Riemann généralisée voir sous-cas2014Michael Bennett, Imin Chen, Sander Dahmen, Soroosh Yazdani2006Michael Bennett2015Samuele Anni, Samir Siksek2018Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno Freitas1998Alain KrausKraus prouve que . En prenant, , on a le résultat
Recherche numérique Peter Norvig, directeur de recherche chez Google, a annoncé avoir numériquement éliminé toutes les solutions éventuelles avec et ainsi que et .
Cas général Le cas -smooth a été étudié par Lucas dans beaucoup de cas particuliers. équationsous-casdateauteursnotes1877Édouard LucasUne infinité de solutions. Voir Cas sphérique.2018Angelos KoutsianasUne solution, 2008Sander DahmenAucune solutionbeaucoup de cas particuliers différents1951Ernst Selmer2016Gustav SöderlundPreuve élémentaire, aucune solutionPreuve élémentaire, une solution, 2008Michael Bennett, Jordan Ellenberg, Nathan C. NgAucune solution2006Luis Dieulefait, Jorge Jiménez Urroz2018Angelos KoutsianasUne solution, 2006Andrzej DąbrowskiAucune solution2002Alain KrausIl n'existe qu'un nombre fini de donnant des solutions2005Luis DieulefaitAucune solution2007Nicolas BillereyAucune solutionquelques autres cas particuliers quand est -smooth2011Luis Dieulefait, Nuno Freitas2017Nicolas Billerey, Imin Chen, Luis Dieulefait, Nuno FreitasUne solution, Aucune solution2012Nuno FreitasAucune solutionAucune solution2018Nicolas Billerey, Imin Chen, Lassina Dembélé, Luis Dieulefait, Nuno FreitasAucune solution2013Nuno Freitas, Samir SiksekAucune solution2000Wilfrid Ivorra2 solutions, ,Une solution, 2002Michael Bennett, Chris M. SkinnerAucune solution3 solutions, ,
,Aucune solution2009Andrzej Dąbrowski2000Michael Bennett, Vinayak Vatsal, Soroosh YazdaniAucune solution1996Alain KrausAucune solutionPierre DénesUne solution, 1995Kenneth RibetPartiellement résolu2002Emmanuel Halberstadt, Alain KrausIl existe un ensemble de nombres premiers de densité strictement positive tel qu'il n'y a aucune solution pour tout .
Généralisations La conjecture de Beal est fausse si on l'étend aux entiers de Gauss. Après qu'un prix de ait été mis en jeu pour une preuve ou un contre-exemple, Fred W. Helenius proposa .
Le dernier théorème de Fermat tient toujours dans certains anneaux. On dit que le dernier théorème de Fermat asymptotique est vrai dans le corps (ou dans son anneau des entiers , c'est équivalent) si Ci-dessous, deux solutions sont dites équivalentes s'il existe tel que : équationcorps sous-casdateauteursrésultats/notes2013Nuno Freitas, Samir SiksekFLT asymptotique établi pour un ensemble de de densité parmi les entiers quadratfrei.
(améliorable à une densité de en supposant une généralisation de la conjecture d'Eichler-Shimura)2016Mehmet Şengün, Samir SiksekFLT asymptotique établi en supposant une variante de la conjecture de modularité de Serre