En théorie de la mesure, lintégrale de Lebesgue-Stieltjes généralise les intégrales de Riemann-Stieltjes et de Lebesgue, avec les avantages de la première méthode dans un contexte de théorie de la mesure plus général. L'intégrale de Lebesgue-Stieltjes est l'intégrale de Lebesgue classique faite selon une mesure dite de Lebesgue-Stieltjes, qui peut être associée à une fonction à variation bornée sur la droite réelle. La mesure de Lebesgue–Stieltjes est une mesure de Borel régulière, et réciproquement, toute mesure de Borel régulière sur la droite réelle est d'un tel type.

Les intégrales de Lebesgue–Stieltjes, nommées d'après Henri Lebesgue et Thomas Joannes Stieltjes, sont aussi appelées intégrales de Lebesgue-Radon ou plus simplement intégrales de Radon, du nom de Johann Radon, qui a produit une grande partie de la théorie sur laquelle elle repose. Leurs applications les plus communes sont dans la théorie des probabilités et les processus stochastiques, et dans certaines branches de l'analyse dont la théorie du potentiel.

Définition L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

est définie pour    Borel-mesurable et bornée et    à variation bornée sur et continue à droite, ou si positive et monotone et continue à droite. On supposera d'abord positive et croissante et continue à droite. On définit sur les intervalles : et (si est continue à gauche, on pourra poser et ).

Par le théorème d'extension de Carathéodory, il existe une unique mesure de Borel sur égale à sur tout intervalle . La mesure émerge d'une mesure extérieure (en fait, une mesure métrique définie par

l'infimum étant pris sur tous les recouvrements de par des intervalles semi-ouverts dénombrables. Cette mesure est parfois appeléeHalmos (1974), Sec. 15 la mesure de Lebesgue–Stieltjes associée avec .

L'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

est définie comme l'intégrale de Lebesgue de selon la mesure classique. Si est décroissante, on pose

et on revient à la définition précédente.

Si est à variation bornée et est bornée, il est possible d'écrire

où est la variation totale de sur l'intervalle , et . Les fonctions et sont toutes deux monotones croissantes. Alors l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes selon est définie par

avec les deux intégrales définies selon les constructions précédentes.

Intégrale de Daniell Une approche alternative revient à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes comme l'intégrale de Daniell par extension de l'intégrale de Riemann–Stieltjes usuelle. Soit une fonction croissante continue à droite sur , et on note l'intégrale de Riemann–Stieltjes

pour toute fonction continue . La fonctionnelle définit une mesure de Radon sur . On peut étendre cette fonctionnelle sur la classe de toutes les fonctions positives en posant :

Pour les fonctions Borel-mesurables, on a

et les deux termes peuvent servir à définir l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de . La mesure extérieure est définie par

où est la fonction indicatrice de .

Les intégrandes à variation bornée sont considérés comme précédemment en séparant les variations positive et négative.

Exemple Supposons un arc rectifiable sur le plan et une fonction Borel-mesurable. Alors on peut définir la longueur de selon la métrique euclidienne pondérée par par

avec la longueur de la restriction de sur . On appelle parfois cette valeur la -longueur de . Cette notion est utile pour plusieurs applications : par exemple, dans un terrain boueux, la vitesse à laquelle une personne peut se déplacer va dépendre de la profondeur de boue. Si désigne l'inverse de la vitesse de marche proche de , alors la -longueur de est le temps nécessaire à traverser . Le concept de utilise cette notion de -longueur de courbes et utilisé dans l'étude des applications conformes.

Intégration par parties Une fonction est dite "régulière" au point si les limites à gauche et à droite et existent, et la fonction prend alors en la valeur moyenne

Soient deux fonctions et de variation finie, si en tout point au moins une des deux fonctions entre et est continue ou et sont régulières, alors on peut définir une intégration par parties pour l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes

Ici, les mesures de Lebesgue–Stieltjes pertinentes sont associées aux versions continues à droite de et ; soit en utilisant et, de façon similaire, L'intervalle borné peut être remplacé par un intervalle non borné , ou tant que et sont de variations finies sur cet intervalle non borné. On peut même étendre aux fonctions à valeurs complexes.

On a également un résultat alternatif d'importance significative en calcul stochastique : pour deux fonctions et de variations finies, toutes deux continues à droite et ont des limites à gauche (on parle de fonctions càdlàg) alors on a

avec .

Ce résultat peut être vu comme un précurseur du lemme d'Itô, et trouve son application dans la théorie de l'intégration stochastique. Le terme final vaut , qui apparait dans la covariation quadratique de et . (Le résultat précédent peut être vu comme une proposition précédant l'intégrale de Stratonovich).

Concepts reliés

Intégration de Lebesgue Avec pour tout réel, alors est la mesure de Lebesgue, et l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes de selon se réduit à l'intégrale de Lebesgue de .

Intégration de Riemann–Stieltjes et théorie des probabilités Soit une fonction réelle à valeurs réelles continue et une fonction réelle croissante, l'intégrale de Lebesgue–Stieltjes est équivalente à l'intégrale de Riemann-Stieltjes, où on écrit souvent

pour l'intégrale de Lebesgue-Stieltjes, avec la mesure restant implicite. Ce résultat est commun en théorie des probabilités où est la fonction de répartition d'une variable aléatoire réelle , alors

Notes

Références

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