En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.
Densité sur un espace vectoriel
Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel de dimension est une application telle que :
Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voirN. M. J. Woodhouse, Geometric quantization, Clarendon Press., 1991..
Densité sur une variété
Considérons une variété différentielle de dimension et soit son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :
De cette représentation on peut définir sur la variété le -fibré vectoriel associé suivant :
Définition : Une densité sur une variété est une section du fibré .
Remarque : Point par point, une densité sur une variété est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent .
Exemples
Exemple 1 : Soit une forme volume sur . Alors, la valeur absolue définie en tout point par :
est une densité sur .
Exemple 2 : Soit une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville est la densité de LiouvilleJean-Marie Souriau, Thermodynamique et géométrie, 1978, Mathematics Subject Classification. 82A30 (58F05). .
Applications
Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons : intégration sur une variété différentielle non orientable ; intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :
Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.
Notes et références
Catégorie:Géométrie différentielle