vignette|Portrait de Kenneth Arrow Le théorème d'impossibilité d'Arrow, également appelé « paradoxe d'Arrow » ou théorème du dictateur., du nom de son auteur l'économiste américain Kenneth Arrow, est une démonstration mathématique du paradoxe de Nicolas de Condorcet.
Supposons que chaque électeur ne puisse exprimer son opinion que de manière qualitative, en indiquant comment il classe les unes par rapport aux autres. Entre deux options, l'électeur indique celle qu'il préfère ou s'il est indifférent entre les deux, par contre il ne peut pas exprimer l'intensité de sa préférence. Dans ce cadre, il n'existe pas de processus de choix social indiscutable, qui permette d'exprimer une hiérarchie des préférences cohérenteC'est-à-dire par exemple où l'absence d'un candidat non élu quelconque du scrutin ne change pas le nom de l'élu pour une collectivité à partir de l'agrégation des préférences individuelles exprimées par chacun des membres de cette même collectivité. Pour Condorcet, il n'existe pas de système simple assurant cette cohérence. Arrow tente de démontrer, sous réserve d'acceptation de ses hypothèses, qu'il n'existe pas du tout de système assurant la cohérence, hormis celui où le processus de choix social coïncide avec celui d'un seul individu, parfois surnommé dictateur, indépendamment du reste de la population.
Origine Le précurseur : Nicolas de Condorcet Nicolas de Condorcet énonce en 1785 dans son ouvrage Essai sur l’application de l’analyse à la probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix le paradoxe de Condorcet, soit l'idée selon laquelle la définition d'une position commune à plusieurs votants se heurte à des difficultés logiques, notamment le non-respect de la règle de transitivité.
L'auteur
Ce théorème est dû à Kenneth Arrow, lauréat 1972 du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel communément surnommé Prix Nobel d'économie, qui l'a exposé dans sa thèse et l'a publié en 1951 dans son livre Choix social et valeurs individuelles ().
Préférences Notion Si un individu ayant des préférences classe une option A devant une option B, la présence d'une troisième option C toutes choses égales par ailleurs ne doit pas en principe intervertir cette préférence. On dit que cela manifeste la cohérence de son choix.
Formalisation Pour les mathématiciens, ce que les économistes appellent « préférences » correspond à un préordre total. En particulier, ce peut être un ordre total (on parle alors de « préférences strictes » ).
De façon similaire, les « préférences » d'un individu correspondent à l'ordre qu'un individu établit entre des options qui s'offrent à lui. Ces préférences sont dites strictes lorsque l'individu ne classe jamais deux options ex æquo. Pour que la description de cette notion soit complète, on suppose que l'ordre qu'un individu établit entre les différentes options existantes n'est pas modifié par l'ajout d'options supplémentaires.
Un profil de préférences est le nom donné à un « groupe » de préférences individuelles. On nomme préférence sociale, ou collective, une relation de préférence définie au niveau social.
Les problèmes Il s'agit d'agréger un ensemble de préférences individuelles en une préférence collective, autrement dit un ensemble d'ordres individuels en un ordre social. Par définition, l'ordre agrégé ne doit donc dépendre que des préférences individuelles, au sens donné plus haut à ce mot : l'intensité des préférences individuelles ne doit pas intervenir, ni la nature des objets classés, ni aucun critère extérieur.
Quelques exemples : Élection : différents candidats se présentent à une élection. Les électeurs ont des préférences quant aux candidats. À partir de ces préférences, on veut classer les candidats. Choix entre projets d'infrastructure : différents projets d'infrastructure sont présentés. Ces projets peuvent être classés selon différents critères (prix, durée des travaux et différents critères de qualité). Même si ces critères sont quantitatifs, on veut un classement global des différents projets qui ne repose que sur la manière dont les différents critères classent les différents projets.
On nomme fonction de choix social l'opération de passage des préférences individuelles vers une préférence collective.
Énoncé simplifié Le théorème d'Arrow est connu sous la forme suivante:
Pour au moins trois options de choix et deux individus, il n'existe pas de fonction de choix social satisfaisant toutes ces propriétés suivantes simultanément : Universalité, ou : la fonction de choix social doit être définie dans tous les cas de figure, c'est-à-dire déterminer toujours un choix collectif, quel que soit le profil de préférences de chaque individu. Non-dictature : il n'existe aucun individu pour lequel la liste de ses choix personnels coïncide avec la fonction de choix social, indépendamment des préférences des autres ; Unanimité (optimum de Pareto): lorsque tous les individus préfèrent une certaine option à une certaine autre, la fonction de choix social doit associer cette même préférence à la société. Indépendance des options non pertinentes : le classement relatif de deux options ne doit dépendre que de leur position relative pour les individus et non du classement d'options tierces ; si l'on ne considère qu'un sous-ensemble d'options, la fonction ne doit pas aboutir à un autre classement de ce sous-ensemble.
Dans une autre version du théorème, l'unanimité peut être remplacée par les deux hypothèses suivantes : Monotonie : un individu ne doit pas pouvoir faire diminuer le classement global d'une option en la classant plus haut. Souveraineté : aucun choix social ne doit être impossible a priori.
Dans tous les cas, il y a classement des candidats et non notation de ceux-ci, ce qui va être l'une des causes d'instabilité, un candidat largement préféré à celui qui le suit par un électeur ne se distinguant pas dans son classement d'un candidat qu'il préfère faiblement à celui qui le suit.
Principe de la démonstration et interprétation La démonstration est très technique et repose sur plusieurs lemmes que l'on déduit de cas particuliers. Le plus souvent, on suppose l'existence d'une procédure de choix social vérifiant les conditions d'universalité, d'unanimité, et d'indifférence aux options non pertinentes, et l'on montre que cette procédure coïncide avec les choix d'un individu donné.
Plus précisément, désignons par X l'ensemble de la population. Une partie F de cette population est dite décisive, si la fonction de choix social donne comme résultat la liste des préférences des individus de la partie F, lorsque ceux-ci ont les mêmes préférences individuelles. On montre alors que l'ensemble de ces parties décisives F forme un ultrafiltre sur X. Lorsque X est fini, l'ultrafiltre est trivial, ce qui signifie qu'il existe parmi les éléments de l'ultrafiltre une partie décisive formée d'un seul individu x, et que toute partie F est décisive si et seulement si cette partie contient cet individu x. On montre enfin que la fonction de choix social coïncide avec les choix de x.
Ce théorème n'est pas un résultat positif : il ne permet pas d'illustration systématique, mais constate que pour des choix non-binaires, il y aura toujours des situations problématiques. Ainsi, une fonction de choix social qui présente les propriétés élémentaires énoncées plus haut sera souvent sensible aux options non-pertinentes. Remarquons néanmoins que nos propres choix sont parfois influencés eux aussi par des options non-pertinentes et que cela n'affecte pas dans le cas général notre efficacité.
Relâchement des conditions Si ce théorème ne gêne pas les partisans de régimes dictatoriaux (qui sont prêts à faire confiance à un « homme fort » pour mener raisonnablement le peuple) et gêne peu les libéraux (qui récusent l'idée de transformer des préférences individuelles en préférence collective), il est en revanche souvent utilisé contre les partisans de la démocratie (à tort rétorquent-ils, déjà car bon nombre de profils de préférences ne sont pas des préordres totaux dans la réalité — donc le théorème d'Arrow ne s'applique pas, mais surtout parce qu'on peut obtenir des fonctions de choix social satisfaisant des hypothèses proches dès qu'on s'autorise des comparaisons interpersonnelles. Cette section décrit ce qui peut être obtenu en relâchant les hypothèses du théorème tout en restant dans le cadre des préférences non-comparables. La section suivante revient sur la question de la comparabilité.
Les hypothèses de théorème d'Arrow sont-elles raisonnables? Oui, au sens qu'il serait raisonnable de les accepter. Non, au sens qu'il serait déraisonnable de les exiger : la plupart de ces propriétés ne sont ni basiques, ni élémentaires.
Domaine non restreint. On peut chercher à identifier des conditions suffisantes sur les ensembles de préférences individuelles pour que l'agrégation soit possible. Plusieurs de ces conditions ont été identifiées, la plus importante étant celle d'unimodalité, qui permet d'obtenir le théorème de l'électeur médian. Si les préférences individuelles se déduisent de la position des individus sur un axe gauche droite, alors la règle majoritaire satisfait aux autres conditions d'Arrow et est une méthode raisonnable d'agrégation des préférences ordinales. Non-dictature. Cette condition ne peut guère être relaxée, cependant il est intéressant de considérer que chaque individu peut être un "dictateur partiel" dans sa "sphère privée". Voir le "paradoxe du parétien libéral" de Sen. Unanimité. Cette condition appelée aussi "optimalité au sens de Pareto" peut être relaxée techniquement en jouant sur le traitement des indifférences, sans altérer profondément le résultat. Cependant cette hypothèse est discutable quant à sa pertinence empirique et théorique: plusieurs personnes peuvent être d'accord pour déclarer que A est préférable à B, mais le penser pour des raisons opposées. Dans ce cas d'unanimité fallacieuse, la condition ne se justifie pas. Sur ce point, voir les travaux de Philippe Mongin et la théorie de l'agrégation des jugements. Indépendance. Cette hypothèse est discutable en tant que description des choix réels. Nous ne la pratiquons d'ailleurs en général pas nous-mêmes dans nos choix individuels, faiblesse connue des vendeurs et exploitée par eux (méthodes dite du bait and switch - on appâte le chaland avec des produits à bas prix... puis on propose un autre article de 'meilleure' qualité à marge plus importante). Dans une optique normative, relacher cette hypothèse permet de définir, dans des contextes économiques donnés, des manières de contourner l'impossibilité arrovienne. Voir par exemple certains travaux de Marc Fleurbaey et François Maniquet Marc Fleurbaey and François Maniquet, A Theory of Fairness and Social Welfare, Cambridge University Press; . Détermination. On peut tenter de contourner l'impossibilité en cherchant non pas une fonction de choix mais une correspondance de choix, c'est-à-dire en acceptant que le choix ne soit pas complètement résolu. Dans ce cadre on peut définir plusieurs correspondances de choix social basées sur le principe majoritaireJean-François Laslier Tournament Solutions and Majority Voting, Heidelberg, New–York: Springer–Verlag, 1997. et en particulier le scrutin de Condorcet randomisé, qui résout les situations paradoxales par un choix aléatoire particulier Florian Brandl and Felix Brandt. Arrovian Aggregation of Convex Preferences. Econometrica, 88(2):799–844, 2020..
Critiques des présupposés et alternatives Comme toute théorie scientifique, le résultat d'Arrow repose sur des hypothèses, qui sont mathématiquement exprimées à l'intérieur d'un cadre formel particulier. Si les hypothèses ne sont pas vérifiées, le théorème ne s'applique pas.