En mathématiques et en statistiques, les moyennes quasi-arithmétiques, ou moyennes de Kolmogorov ou moyennes de Kolmogorov-Nagumo-de Finetti ou encore moyennes selon une fonction constituent une généralisation de la moyenne (de Hölder) d'ordre p (qui est elle-même une généralisation des moyennes usuelles : arithmétique, géométrique). Ce sont les conjuguées de la moyenne arithmétique par une bijection .
Définition Soit une fonction définie sur un intervalle de l'ensemble des nombres réels, continue et injective.
La moyenne selon la fonction (ou - moyenne) des nombres est définie par , ce que l'on peut aussi écrire :
Il est nécessaire que soit injective pour que son inverse soit définie. Comme est continue et est un intervalle, appartient bien à l'ensemble de définition de , car ce dernier est un intervalle.
Comme est injective et continue, elle est strictement monotone, d'où il découle que la moyenne selon est toujours comprise entre le minimum et le maximum des nombres en argument :
Exemples Dans les exemples suivants, , ou . Pour , la moyenne selon est la moyenne arithmétique quels que soient et (voir la propriété d'invariance d'échelle infra). Pour , la moyenne selon est la moyenne géométrique quelle que soit la base du logarithme dès lors que celle-ci est positive et différente de 1. Pour , la moyenne selon est la moyenne harmonique. Pour , la moyenne selon est la moyenne d'ordre . Pour , la -moyenne correspond à une version décalée d'une constante de la fonction LogSumExp : . Le correspond à la division par . Par contre, la moyenne logarithmique n'est pas une moyenne quasi-arithmétique .
Propriétés Pour toute fonction satisfaisant à la définition ci-dessus on a les propriétés suivantes :
Symétrie : La valeur de est invariante par permutation de ses arguments.
Point fixe : .
Croissance : est croissante en chacune de ses variables (puisque et sont monotones de même sens).
Continuité : est continue en chacune de ses variables (puisque est continue).
Substitution : n'importe quel ensemble formé par de ses arguments peut être remplacé par sa -moyenne répétée fois, sans changer le résultat de la -moyenne globale. Si l'on note on a ainsi:
Partitionnement (ou associativité) : Le calcul de la moyenne selon peut être séparé en plusieurs calculs de sous-ensembles de même taille :
Auto-distributivité : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a : .
Médialité : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a : .
Équilibrage : Pour toute moyenne de Kolmogorov de deux arguments, on a : .
Invariance d'échelle : La moyenne de Kolmogorov est invariante par translation et homothétie de la fonction : .
Caractérisation Il existe plusieurs ensembles de propriétés qui caractérisent la moyenne de Kolmogorov (c'est-à-dire que pour toute fonction satisfaisant ces propriétés, il existe une fonction telle que ).
La médialité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov. L'auto-distributivité est essentiellement suffisante pour caractériser une moyenne de Kolmogorov. Kolmogorov a démontré que les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et substitution caractérisent entièrement une moyenne de Kolmogorov . Équilibrage: Une question intéressante consiste à savoir si cette propriété peut remplacer celle de substitution parmi les propriétés précédentes, c'est-à-dire si les cinq propriétés de symétrie, point fixe, croissance, continuité et équilibrage suffisent à caractériser une moyenne de Kolmogorov. a démontré dans les années 1930 que la réponse, en général, est non , mais qu'il suffit d'ajouter l'hypothèse que soit analytique pour que ce soit le cas.
Homogénéité Les moyennes sont habituellement homogènes, mais pour presque toutes les fonctions , la moyenne selon ne l'est pas. En fait, les seules moyennes de Kolmogorov homogènes sont les moyennes d'ordre p .
La propriété d'homogénéité peut cependant être obtenue en normalisant les arguments par une moyenne (homogène) .
Cependant, cette modification peut violer les propriétés de croissance et de partitionnement.
Espérance selon une fonction De façon analogue à la moyenne selon une fonction , on définit l'espérance selon (ou espérance de Kolmogorov) d'une variable aléatoire à valeurs dans par: .
La moyenne selon et l'espérance selon vérifient un théorème central limite : si existe et si est dérivable en ce point, alors pour toute suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que , la suite de variables aléatoires converge en loi vers une loi normale.
Moyenne quasi-arithmétique d'une fonction Soient et une fonction strictement monotone bien définie sur l'image de et telle que soit Lebesqgue-intégrable pour une mesure μ donnée. On appelle m-moyenne quasi-arithmétique de la fonction , ou moyenne lagrangienne de ou moyenne de Cauchy de , la valeur:
Applications Pour , on a les moyennes d'ordre de :
On identifie ainsi les moyennes arithmétique, géométrique, harmonique et quadratique des fonctions par, respectivement :
Notes et références
Voir aussi Bibliographie
.
Articles connexes Inégalité de Jensen Moyenne de Stolarsky
quasi-arithmétique