En mathématiques, la suite de Jacobsthal est une suite d'entiers portant le nom du mathématicien allemand Ernst Jacobsthal (1882-1965). Comme la suite de Fibonacci, elle modélise l'accroissement d'une population de lapins.
Sachant qu'un couple de lapins donne naissance à deux nouveaux couples chaque mois et que chaque couple commence à engendrer à partir du deuxième mois suivant sa naissance, on demande le nombre total de couples au n-ième mois.
La suite commence par 0 et 1, puis chaque terme est obtenu en ajoutant le nombre précédent à deux fois le nombre anté-précédent. Les premiers termes en sont donc :
0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525,… cf. la . C'est aussi une suite de Lucas , obtenue pour .
C'est aussi le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1×1 (monominos) et des rectangles 2×1 (dominos), ou encore le nombre de façon de paver un rectangle 2 × (n – 1) par des carrés 1 × 1 et des carrés 2 × 2.
Historique D'après Donald Knuth, Ernst Jacobsthal n'a probablement jamais vu les valeurs de cette suite. C'est le mathématicien australien Alwyn Francis Horadam qui a utilisé l'appellation « suite de Jacobsthal », car (loi de Stigler)..
Définition et formules La suite de Jacobsthal est donc définie par récurrence double par :
L'application de la formule de Binet pour les suites récurrentes linéaires donne :
on en déduit les formules de récurrence simples :
d'où :
La fonction génératrice est
La somme des inverses des nombres de Jacobsthal non nuls est environ égale à 2,7186, résultat légèrement supérieur à e.
En prolongeant la suite aux indices négatifs de sorte à avoir , pour tout entier relatif , on a :
() et (et la suite est la .
Suite de Jacobsthal-Lucas La suite de Jacobsthal-Lucas est la suite de Lucas associée à . Seules les valeurs initiales diffèrent :
Récurrence simple : pour tout entier ,
Formule générale : pour tout entier ,
Les premières valeurs sont : 2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537, 131071, 262145, 524287, 1048577,… .
Nombres oblongs de Jacobsthal Les nombres oblongs de Jacobsthal sont les produits de deux termes consécutifs de la suite de Jacobstahl : .
Les premières valeurs sont 0, 1, 3, 15, 55, 231,… ; elles forment la .
Notes et références
Liens externes
Jacobsthal