En physique du solide, le réseau de Toda, introduit par Morikazu Toda en 1967, est un modèle simple pour un cristal unidimensionnel.
Le modèle Il est donné pour une chaîne de particules dont l'interaction avec le voisin le plus proche est décrit par l'opérateur hamiltonien
et les équations du mouvement
où est le déplacement de la -ième particule depuis sa position d'équilibre, est sa quantité de mouvement (masse ), et est le potentiel de Toda.
Solutions en solitons Les solutions en solitons sont des ondes solitaires qui se propagent dans le temps sans changement de leur forme et de leur taille et interagissent les unes avec les autres comme des particules. La solution générale en N-soliton de l'équation est
où
avec et .
Intégrabilité Le réseau de Toda est un exemple prototypique d'un système complètement intégrable. Pour voir celui-ci on utilise les variables de Flaschka
le réseau de Toda prend alors la forme
Pour montrer que le système est complètement intégrable, il suffit de trouver une paire de Lax, c'est-à-dire deux opérateurs et dans l'espace de Hilbert des suites de carrés sommables de telle sorte que l'équation de Lax
où est le crochet de Lie des deux opérateurs, est équivalent à la dérivée temporelle des variables de Flaschka. Le choix
où et sont les opérateurs de décalage, implique que les opérateurs pour différents sont unitairement équivalents.
La matrice a la propriété que ses valeurs propres sont invariantes dans le temps. Ces valeurs propres constituent des intégrales indépendantes du mouvement, donc le réseau de Toda est complètement intégrable. En particulier, le réseau de Toda peut être résolu grâce à la pour l'opérateur de Jacobi . Le résultat principal implique que des conditions initiales de décomposition arbitraire (suffisamment rapide) se répartissent asymptotiquement pour grand en une somme de solitons et une partie dispersive.
Notes et références
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Articles liés
Bialgèbre de Lie
Liens externes
Eric W. Weisstein, « Toda Lattice » sur ScienceWorld Gerald Teschl, The Toda Lattice
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