vignette|ABC est un triangle quelconque et A', B', C' sont les centres des triangles équilatéraux construits extérieurement sur les côtés de ABC. Alors A'B'C' est un triangle équilatéral, nommé triangle de Napoléon extérieur. Le théorème de Napoléon est un théorème de géométrie portant sur des triangles équilatéraux construits à partir d'un triangle quelconque. Il se généralise aux autres polygones par le théorème de Petr-Douglas-Neumann.

Étymologie Bien qu'il soit traditionnellement attribué à Napoléon Bonaparte, il n'y a pas de preuve tangible qu'il soit effectivement l'auteur du théorème. L'énoncé apparaît en effet en dans la revue ...., soit quatre ans après la mort de l'empereur. Le nom de Napoléon attribué à ce théorème apparaît pour la première fois en 1911 dans un ouvrage mathématique italien ; l'auteur y affirme que le problème a été posé par Napoléon à Lagrange sans autre précision. Le théorème apparaît ., Selon cet auteur, l'identification du théorème par le nom de Napoléon a eu un tel succès au qu'il est devenu vain désormais de chercher à le désigner autrement.Selon , le théorème est mentionné pendant tout le sans allusion à Napoléon, hormis en , et cette attribution reste douteuse. ; il est possible qu'il s'agisse d'une confusion avec le problème de Napoléon, pour lequel on dispose de témoignages assez fiables donne plusieurs citations à ce sujet..

Énoncé

Remarques : Par « extérieur », il faut par exemple entendre qu'avec les notations de notre figure et un repère orienté, les triangles ABC et ABZ sont de sens opposés (ici ABC est dans le sens trigonométrique et ABZ dans le sens anti-trigonométrique), idem pour les deux autres. Dans le cas « intérieur », ils seraient de même sens. Pour un triangle équilatéral, par « centre » il faut comprendre centre de gravité c'est-à-dire isobarycentre, intersection des trois médianes, confondu avec l'orthocentre ou les centres des cercles inscrit et circonscrit.

Démonstration

En géométrie classique thumb|Figure illustrant le théorème de Napoléon.|alt=Dessin du triangle équilatéral final obtenu à partir des trois premiers triangles équilatéraux.Les triangles MCL et ACX sont semblables, avec un rapport de . En effet, CA/CM = = CX/CL et les angles MĈL et AĈX sont égaux. Ou dans un langage plus moderne : par la similitude directe (composée d'une homothétie et d'une rotation) de centre C, d'angle ±30 degrés (dans le sens approprié) et de rapport , les points M et L deviennent respectivement les points A et X.

D'où il résulte que la longueur du segment AX est égale à fois celle de ML.

En appliquant le même raisonnement aux triangles NBL et ABX, on montre que la longueur de AX est aussi égale à fois celle de NL. Ainsi, ML et NL ont même longueur.

On démontre de même – par comparaison avec BY – que LM et NM ont même longueur.

En conclusion : NL = ML = NM et le triangle MNL est équilatéral.

Avec les nombres complexes

On notera (notation usuelle) et on utilisera les notations de la figure.

On munit le plan complexe d'un repère orthonormé direct. Soient a, b, c, l, m et n les affixes respectives des points A, B, C, L, M et N dans ce repère.

Par construction, A est l'image de B par la rotation de centre N et d'angle , ce qui se traduit par :

De même :

On en déduit :

Comme, par définition, on a et , alors :

En divisant par on obtient .

Le point M est l'image de L par la rotation de centre N et d'angle donc NLM est un triangle équilatéral direct.Remarque : cette démonstration reste valable dans le cas des triangles « intérieurs » en changeant quelques signes.

Lemmes

Ce lemme peut être facilement démontré en reprenant les notations de la démonstration avec les nombres complexes :

d'où l'égalité pour les affixes des barycentres

On reprend les notations précédentes, pour le triangle « intérieur » (remarquons au passage que le point N1 est le symétrique du point N par rapport au segment de droite AB) ; on obtient alors :

et sachant que l'aire d'un triangle équilatéral de côté a peut être obtenu par : et que , calculons la différence :

en développant et en sachant que

Comme il vient :

Le résultat précédent est bien l'aire (algébrique) du triangle dont les affixes des sommets sont a, b et c''.

Généralisations

Triangles semblables construits sur les côtés d'un triangle La propriété se généralise à trois triangles quelconques (ABC'), (B'CA) et (CA'B) construits sur les côtés du triangle (ABC), directement semblables, le triangle formé alors par les centres de gravité des trois triangles est semblable à ceux-ci, ..

Théorème de Napoléon-Barlotti : généralisation aux polygones affinement réguliers vignette|Théorème de Napoléon-Barlotti pour un pentagone dont chaque corde est parallèle au côté opposé. Les centres des -gones réguliers construits sur les côtés d'un -gone convexe forment un -gone régulier si et seulement si est l'image par une transformation affine d'un -gone régulier. Le cas donne le théorème de Napoléon, et le cas le premier théorème de Thébaut.

D'après un théorème de Coxeter datant de 1970, la condition nécessaire et suffisante pour qu'un polygone convexe soit image par une transformation affine d'un polygone régulier est que les vecteurs et soient colinéaires et de même sens pour tout (en prenant les indices modulo ).

Généralisation aux polygones quelconques Le théorème de Napoléon se généralise aux quadrilatères quelconques par le théorème de van Aubel, et même à tout type de polygone par le théorème de Petr-Douglas-Neumann.

Hommage L'artiste plasticienne Esther Ferrer a réalisé dans les années 1980 une série sur les triangles de Napoléon...

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes Problème de Napoléon Points de Napoléon Point de Fermat Théorème de Thébault (centres des carrés construits autour d'un parallélogramme) Théorème de van Aubel (centres des carrés construits autour d'un quadrilatère) Théorème de Petr-Douglas-Neumann (généralisation)

Liens externes . .

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