frame|L'équivalent en quatre dimensions du cube est le tesseract. On le voit ici en rotation, projeté dans l'espace usuel (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir).|alt=Animation d'un tesseract (les arêtes représentées comme des tubes bleus sur fond noir). En mathématiques, et plus spécialement en géométrie, l'espace à quatre dimensions (souvent abrégé en 4D ; on parlera par exemple de rotations en 4D) est une extension abstraite du concept de l'espace usuel vu comme espace à trois dimensions : tandis que l'espace tridimensionnel nécessite la donnée de trois nombres, appelés dimensions, pour décrire la taille ou la position des objets, l'espace à quatre dimensions en nécessite quatre. Par exemple, une boîte rectangulaire est caractérisée par sa longueur, sa largeur et sa hauteur ; cela amène au système des coordonnées cartésiennes, souvent notées par les lettres et . Dans l'espace à quatre dimensions, les points sont de même repérés par quatre coordonnées ; la quatrième, qui est le plus souvent notée ou , correspond à une nouvelle direction, perpendiculaire à toutes les directions de notre espace.
L'idée d'une quatrième dimension (alors identifiée au temps) apparaît au milieu du , proposée par d'Alembert et rendue rigoureuse par Lagrange, mais ce n'est qu'un siècle plus tard qu'une véritable géométrie de l'espace à quatre dimensions est développée par divers auteurs, avant d'être complètement formalisée par Bernhard Riemann en 1854. Les outils conceptuels ainsi créés permettent en particulier de classifier complètement les formes géométriques en quatre dimensions analogues aux formes traditionnelles de l'espace usuel, comme les polyèdres ou les cylindres.
L'utilisation de la quatrième dimension (et de dimensions supérieures) est devenue indispensable à la physique moderne, de la théorie de la relativité (dont le cadre géométrique est l'espace de Minkowski, un espace à quatre dimensions muni d'une géométrie non euclidienne) jusqu'à la physique quantique.
Historique La question de la limitation du monde physique à trois dimensions a été souvent abordée par les philosophes, d'AristoteDans le Traité du ciel, Aristote affirme que (Traité du ciel, Livre I, chapitre premier, §2). à Kant ; des spéculations sur ce que pourrait être une quatrième dimension se trouvent chez Oresme et, de manière plus précise, chez Henry More, lequel imagine une sorte d'« épaisseur spirituelle » à laquelle il donne le nom de spissitude., et qui s'étendrait dans une direction « hors de l'espace ».
Cependant, l'idée de donner un sens géométrique concret à une quatrième dimension apparaît pour la première fois chez d'Alembert., qui la mentionne en 1754 dans l'entrée Dimension de l'EncyclopédieIl y attribue à « un homme d'esprit de ma connaissance » l'idée d'ajouter le temps aux trois dimensions usuelles : voir le texte intégral de l'entrée.. Lagrange, dans sa Mécanique analytique (publiée en 1788, mais s'appuyant sur des travaux datant de 1755), montre que la mécanique peut être étudiée en se plaçant dans un espace à quatre dimensions .
En 1827, Möbius comprend qu'une quatrième dimension permettrait, par un simple déplacement, de transformer un objet à trois dimensions en son reflet dans un miroir ; vers 1853, Ludwig Schläfli découvre tous les polytopes en dimensions supérieures, bien que son travail ne soit pas publié avant sa mort.
Après avoir longuement cherché un ensemble de nombres s'appliquant à la géométrie dans l'espace, comme les nombres complexes s'appliquent à la géométrie du plan, William Rowan Hamilton découvre en 1843 les quaternions, un système de nombres plus vaste que celui des nombres complexes, mais partageant la plupart de leurs propriétés. Bien que cet ensemble soit de dimension quatre (c'est-à-dire qu'on peut interpréter chaque quaternion comme un point de l'espace à quatre dimensions), il permet surtout un véritable calcul géométrique en trois dimensions et va donner naissance aux outils de l'analyse vectorielle..
Une approche rigoureuse de toutes ces questions est proposée par Bernhard Riemann dans sa thèse de 1854, [« Sur les hypothèses qui sont à la base de la géométrie »], dans laquelle il considère un « point » d'un espace à dimensions comme étant simplement une suite de nombres , ce qui permet une géométrie dans un espace à un nombre quelconque de dimensions. Les idées de Riemann amènent également à considérer des coordonnées dites curvilignes (un exemple simple dans l'espace usuel étant les coordonnées sphériques) ; pour le mathématicien, il n'y a désormais plus de sens à parler d'une dimension individuelle (comme la quatrième dimension) ; il peut seulement définir la dimension d'un espace comme étant le nombre de coordonnées nécessaires pour le décrire.
En 1886, Victor Schlegel décrit une méthode de visualisation de polytopes à l'aide de diagrammes qui portent à présent son nom Victor Schlegel, [« Au sujet des modèles de projection de corps quadridimensionnels réguliers »], Waren, 1886..
vignette|upright|alt=Couverture en cuir brun, titre et nom de l'auteur en lettres dorées|Couverture de l'édition originale de A New Era of Thought. Charles Howard Hinton est l'un des premiers vulgarisateurs de la quatrième dimension, publiant en 1880 son essai dans le magazine de l'université de Dublin.. Il introduit un vocabulaire pour parler des objets de cet espace (comme le terme tesseract, ou les deux noms de direction ana et kata) dans son livre , et une méthode de visualisation à l'aide d'analogies avec les techniques de la perspective dans le livre ... Dès le début du , plusieurs auteurs rédigent des textes plus rigoureux à l'usage des étudiants, par exemple le Traité élémentaire de géométrie à quatre dimensions d'Esprit Jouffret en 1904.
En 1909, Hermann Minkowski publie une construction géométrique de l'espace-temps de la relativité restreinte. à laquelle on donnera par la suite le nom d'espace de Minkowski. ; cet espace, bien qu'à quatre dimensions, a une géométrie non euclidienne, très différente de celle popularisée par Hinton. Cette différence n'est pas toujours bien perçue dans les textes de vulgarisation et moins encore dans les ouvrages de philosophie ou de fiction, ce qui amène à des confusions entre le temps physique et une véritable dimension spatiale ; en 1973 encore, Coxeter se sent obligé d'écrire :
Approches par analogie Une première approche de la quatrième dimension consiste à raisonner par analogie, en considérant que la relation entre les objets du plan et ceux de l'espace ordinaire doit donner une idée de la relation entre ces derniers et ceux de l'espace à quatre dimensions.. Cette approche fut utilisée par Edwin Abbott Abbott dans son livre Flatland, l'histoire d'un carré vivant dans un monde à deux dimensions, comme la surface d'une feuille de papier. De son point de vue, un être à trois dimensions (une sphère, dans le roman) a des pouvoirs surnaturels, comme la capacité de sortir des objets d'un coffre sans l'ouvrir (en les soulevant et en les reposant un peu plus loin), ou de voir l'intérieur des êtres vivants. Par analogie dimensionnelle, un être à quatre dimensions serait capable de prouesses semblables par rapport à nous ; c'est ce que Rudy Rucker illustre dans son roman Spaceland..
Vocabulaire Se repérer dans un plan demande d'y définir deux axes, et passer du plan à l'espace revient de ce point de vue à ajouter un troisième axe sortant du plan. En partant des repères familiers de l'espace usuel (souvent matérialisés par les arêtes joignant deux murs et le plancher d'une pièce), l'idée d'un quatrième axe perpendiculaire aux trois premiers (impossible dans notre espace) permet d'imaginer un système à quatre coordonnées, et des déplacements dans huit directions principales : avant et arrière, gauche et droite, haut et bas, et deux nouvelles directions pour lesquelles le vulgarisateur Hinton a inventé les termes ana et kata, à partir de préfixes grecs signifiant respectivement « vers le haut » et « vers le bas »; ces nouvelles directions sont perpendiculaires à toutes les directions de l'espace tridimensionnel familier. Les axes de cet espace étant généralement notés et , le nouvel axe est alors noté (et non , puisqu'on ne parle plus du temps, mais d'une nouvelle dimension spatiale), les coordonnées (longueur, largeur et hauteur, ou plus techniquement abscisse, ordonnée et cote) se voyant adjoindre un nouveau terme, la spissitude, reprenant une idée de Henry More.
Sections vignette|130px|Sections d'un objet quadridimensionnel (un 24-cellules) traversant notre espace.|alt=Polyèdre rouge sur fond bleu, gonflant puis se dégonflant en se déformant.|droite Quand un objet tridimensionnel traverse un plan, les habitants de ce plan le perçoivent sous forme de sections. Par exemple, si une sphère traverse un plan, les observateurs bidimensionnels verront apparaître un point, puis un cercle grandissant jusqu'au diamètre de la sphère, et rétrécissant ensuite jusqu'à disparaître. Par analogie, une hypersphère traversant notre espace devrait apparaître comme une sphère gonflant, puis diminuant avant de disparaître.. Cette méthode de visualisation d'objets à quatre dimensions est utilisée dans plusieurs ouvrages de Charles Howard Hinton.
Projections Une autre méthode de visualisation consiste à étudier des projections. Les représentations d'objets en trois dimensions sur une surface plane utilisent généralement des transformations géométriques, dont les plus élaborées (les transformations projectives) proviennent à l'origine des travaux des peintres du Quattrocento, inventant les lois de la perspective, . ; la troisième dimension (la profondeur) est souvent, dans ce cas, donnée par des indices indirects, tels que les ombres, les reflets ou le flou de l'éloignement. Ces projections déforment les objets, les faces carrées d'un cube devenant des parallélogrammesComparaison des déformations suivant la perspective, sur le site de Serge Mehl..
De façon analogue, des objets de la quatrième dimension peuvent être projetés sur notre espace ; avec de l'entraînement, on peut attribuer les déformations correspondantes à la spissitude (la « profondeur » dans la quatrième dimension).
Les images ci-dessous illustrent ce principe, montrant trois projections d'un tesseract (l'analogue du cube à quatre dimensions), déterminées par analogie avec les projections correspondantes d'un cube ; le calcul rigoureux montre qu'il s'agit bien des véritables projections (au sens mathématique).