En algèbre linéaire, le déterminant de Dieudonné est une généralisation du déterminant aux corps gauches. et plus généralement aux anneaux locaux non nécessairement commutatifs. Errata..
Définition Soient un anneau local (non nécessairement commutatif) et l'abélianisé du groupe de ses éléments inversibles (c'est le groupe quotient de par son groupe dérivé ). Notons θ le morphisme canonique de sur . Pour tout entier , il existe un unique application , appelée déterminant, telle que : le déterminant est invariant par toute opération élémentaire sur les lignes consistant à ajouter à une ligne un multiple à gauche d'une autre ligne ; le déterminant de la matrice identité est l'élément neutre ; si une ligne est multipliée à gauche par un élément inversible a alors le déterminant est multiplié à gauche par l' de a dans .
Exemples Soit . Alors chaque ligne et chaque colonne contient au moins un élément inversible. Supposons par exemple que . Alors,
De même, si alors .
Plus concrètement, soit , le corps des quaternions. . Pour , les deux formules ci-dessus s'appliquent, donnant bien entendu le même résultat : et .
Propriétés Cette application est un morphisme de groupes. Quand on intervertit deux lignes, le déterminant est multiplié par . Si est commutatif, le déterminant est invariant par transpositionPour un contre-exemple dans le cas non commutatif, voir les errata de , ou , ou plus simplement, l'exemple ci-dessus..
Références
Article connexe Lemme de Whitehead
Catégorie:Déterminant