En théorie des probabilités, la g-espérance est une espérance non-linéaire définie à partir d'une équation différentielle stochastique rétrograde (EDSR) introduite par Shige Peng.
Définition Soit un espace probabilisé avec un processus de Wiener en dimension d (sur cet espace). Soit la filtration générée par , i.e. , et soit une variable aléatoire mesurable. Considérons l'EDSR donnée par:
Alors la g-espérance pour est donnée par . Notons que si est un vecteur de dimension m, alors (pour tout temps ) est un vecteur de dimension m et est une matrice de taille .
En fait l'espérance conditionnelle est donnée par et similairement à la définition formelle pour l'espérance conditionnelle il vient pour tout (où la fonction est la fonction indicatrice).
Existence et unicité Soit satisfaisant: est un -processus adapté pour tout l'espace L2 (où est une norme dans ) est une application lipschitzienne en , i.e. pour tout et il vient pour une constante Alors pour toute variable aléatoire il existe une unique paire de processus -adaptés qui vérifient l'équation différentielle stochastique rétrograde.
En particulier, si vérifie également: est continue en temps () pour tout alors pour la condition terminale il suit que les processus solution sont de carré intégrable. Ainsi est de carré intégrable pour tout temps .
Voir aussi Espérance mathématique Références
Catégorie:Calcul stochastique Catégorie:Mouvement brownien