En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire : en géométrie plane, c'est une projection telle que les deux droites — la droite sur laquelle on projette et la direction de projection — sont perpendiculaires; en géométrie dans l'espace, c'est une projection telle que la droite et le plan — quels que soient leurs rôles respectifs — sont perpendiculaires.
La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance).
De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur dont le noyau et l’image sont orthogonaux. La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance d'un point à une droite, d'un point à un plan, ou plus généralement d'un point à un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type « moindres carrés ». L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité. Le fil à plomb est un outil qui permet de visualiser la projection orthogonale d'un point sur un plan (en première analyse du moins).
Dessin par projection orthogonale
Les projections orthogonales sont utilisées pour le dessin, notamment le dessin technique et les jeux vidéo. On distingue typiquement deux types de projections utilisées : la géométrie descriptive : le plan de projection contient deux des axes du repère orthonormé direct ; la perspective axonométrique : le plan de projection est distinct des plans sus-cités.
Voir ces articles.
Le dessin par projection orthogonale ne présente pas de raccourcissement avec la distance (effet de perspective, point de fuite). C'est une représentation fidèle de ce que l'on voit tant que la profondeur de champ est faible.
L'avantage de ces représentations est qu'elles sont simples à réaliser, et que les éléments parallèles au plan de projection — arêtes, surfaces, angles — sont « en vraie grandeur » (VG) : la longueur et l'aire des éléments projetés sont proportionnels à leur grandeur réelle, l'angle est égal à l'angle réel. Le rapport entre la longueur représentée et la longueur réelle constitue l'échelle du dessin.
Projection orthogonale en géométrie affine « élémentaire »
Géométrie plane
Projeté orthogonal sur une droite, distance
L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan usuel (affine euclidien) : la projection orthogonale sur une droite d'un point , notée , est le point appartenant à tel que les droites et soient perpendiculaires :
On utilise souvent l'expression « abaisser la perpendiculaire issue de » pour la construction de , qui peut se faire à la règle et au compas. Analytiquement, peut se trouver en effectuant le produit scalaire :
soit un vecteur directeur de orientant cette droite et un point de , on a :
si est unitaire : si est quelconque (pas nécessairement unitaire) : .
Notons que l'on a .
La distance est alors inférieure aux distances pour les autres points de , strictement sauf si .
Cette distance est appelée distance du point à la droite , et est souvent notée : . Le calcul explicite peut se faire par l'application des formules de trigonométrie pour les triangles rectangles.
Le point est sur la droite si et seulement s'il est égal à son projeté (), ou encore si et seulement si sa distance à est nulle : .
En géométrie analytique, si l'on note
on a :
Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite
Toujours dans le plan affine euclidien, on peut considérer deux droites sécantes et formant un angle . La projection orthogonale est l'application qui à chaque point de associe son projeté orthogonal .
Le point d'intersection de et de est son propre projeté : .
Une propriété remarquable de la projection est la façon dont elle transforme les distances. Si et sont des points de et , , leur projeté orthogonal respectif, on obtient .
Notamment on remarquera, par parité de la fonction cosinus, que projeter orthogonalement les éléments de sur multiplie toutes les distances par un facteur , mais projeter orthogonalement les éléments de sur multiplie toutes les distances par le même facteur.
Géométrie dans l'espace
Projeté orthogonal sur une droite, distance
Soit une droite de l'espace E. La définition et la formule vectorielle de la projection orthogonale sur sont en tous points similaires au cas de la géométrie plane. La seule différence est que la réciproque de la projection pour un point de — l'ensemble des points de l'espace se projetant en , — est un plan perpendiculaire à .
Projeté orthogonal sur un plan, distance
La projection orthogonale d'un point sur un plan est le point appartenant à tel que la droite soit perpendiculaire au plan .
La distance est alors inférieure aux distances pour les autres points de , strictement sauf si . Cette distance est appelée distance du point au plan , et est souvent noté : .
En géométrie analytique, si le plan a pour équation et le point pour coordonnées , les coordonnées du point projeté de sur le plan sont :
La distance du point au plan est donnée par :
Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien
Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections « obliques ».
On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F considéré.
Projection orthogonale sur une droite vectorielle
Si F est une droite vectorielle engendrée par le vecteur , l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est un hyperplan appelé hyperplan normal à F et défini par
Si est un vecteur arbitraire de E, on peut toujours le décomposer de la façon suivante avec Et on constate que est dans F, tandis que est dans l'hyperplan normal à F.
Il est donc toujours possible d'effectuer une projection orthogonale sur une droite vectorielle.
Transitivité
Si G ⊂ F ⊂ E, si est le projeté orthogonal de sur F et le projeté orthogonal de sur G, alors est le projeté orthogonal de sur G. Ceci généralise le « théorème des trois perpendiculaires », qui correspond au cas où E est l'espace euclidien de dimension 3, F est un plan de E, et G une droite de ce plan.
Existence d'une projection orthogonale
On peut donner un exemple d'espace F pour lequel la notion de projection orthogonale sur F n'a pas de sens. Ainsi si on considère l'espace des polynômes réels muni de son produit scalaire usuel, et F l'hyperplan , l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est réduit à {0}. On ne peut donc décomposer les éléments de E, autres que ceux de F, en un élément de F et un élément orthogonal.
Contrairement à une droite, Un hyperplan peut donc n'avoir aucun supplémentaire orthogonal.
Plus généralement, on a équivalence entre les propriétés suivantes : Il existe une projection orthogonale sur F ; L'espace F admet un supplémentaire orthogonal ; L'espace F est le supplémentaire orthogonal de F.
Ceci montre au passage que le supplémentaire orthogonal, s'il existe, est unique.
Lorsque F admet un supplémentaire orthogonal, (F) = F donc F est nécessairement fermé, puisque l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel l'est.
Un cas d'existence important
On peut généraliser la formule de projection sur une droite si F est de dimension finie. En effet, en considérant une base orthonormale de F, on exhibe la décomposition avec Attention à ne pas appliquer cette formule avec une base de F quelconque ! Si E est un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé, alors l'orthogonal de F est un supplémentaire de F dans E.
Le point commun entre les deux conditions suffisantes ci-dessus est qu'elles entraînent la complétude de F (tout sous-espace de dimension finie d'un préhilbert est complet, et tout sous-espace fermé d'un Hilbert également). Cette hypothèse plus faible est en fait suffisante :
Deux preuves sont présentées dans Théorème du supplémentaire orthogonal d'un fermé dans un espace de Hilbert.
Minimisation de la distance
La distance d'un vecteur au sous-espace F est par définition la borne inférieure des distances de à tous les vecteurs de F :
Si le sous-espace F admet un supplémentaire orthogonal, le projeté orthogonal de sur F est le point de F le plus proche de (donc l'inf ci-dessus est en fait un min), ce qui fournit une définition alternative de :
En effet, non seulement ║ – ║ majore la distance (puisqu'il fait partie des ║ – ║ dont est la borne inférieure), mais il la minore également : pour tout de F distinct de on a même ║ – ║ > ║ – ║, d'après l'identité de Pythagore.
Cette propriété est généralisée dans l'article « Théorème de projection sur un convexe fermé ».
Caractérisations parmi les projecteurs
Par la norme subordonnée
Une application linéaire sur l'espace préhilbertien E est k-lipschitzienne sur E si et seulement si , et la norme subordonnée de est alors la plus petite des constantes k telles que soit k-lipschitzienne.
On peut alors énoncer la caractérisation :
Par le fait d'être autoadjoint
Notes et références
Voir aussi Pseudo-solution d'un système linéaire Base de Hilbert Série de Fourier Polynômes orthogonaux Déterminant de Gram
Liens externes
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