droite|vignette|Un tore est une surface orientable. droite|vignette|Le ruban de Möbius est une surface non orientable. Notez que le crabe violoniste qui se déplace autour de lui est retourné à gauche et à droite à chaque circulation complète. Cela ne se produirait pas si le crabe était sur le tore. droite|vignette|La surface romaine n'est pas orientable.
En mathématiques, l'orientabilité est une propriété des surfaces dans l'espace euclidien qui mesure s'il est possible de faire un choix cohérent de vecteur normal de surface en chaque point. Le choix d'un vecteur normal permet d'utiliser la règle de la main droite pour définir une direction « dans le sens des aiguilles d'une montre » des boucles dans la surface, comme l'exige le théorème de Stokes par exemple. Plus généralement, l'orientabilité d'une surface abstraite, ou variété, mesure si l'on peut systématiquement choisir une orientation « dans le sens des aiguilles d'une montre » pour toutes les boucles dans la variété. De manière équivalente, une surface est orientable si une figure bidimensionnelle (telle que 20x20px|alt=camembert divisé en trois portions de couleurs respectives bleu, rouge, vert, en tournant dans le sens horaire.) dans l'espace ne peut pas être déplacé en continu sur cette surface et revenir à son point de départ pour qu'il ressemble à sa propre image miroir 20x20px|alt=camembert divisé en trois portions de couleurs respectives bleu, vert, rouge, en tournant dans le sens horaire.).
La notion d'orientabilité peut également être généralisée aux variétés de dimension supérieure.. Une variété est orientable si elle a un choix cohérent d'orientations, et une variété orientable connexe a exactement deux orientations possibles différentes. Dans ce cadre, diverses formulations équivalentes d'orientabilité peuvent être données, en fonction de l'application souhaitée et du niveau de généralité. Les formulations applicables aux variétés topologiques générales utilisent souvent des méthodes de théorie de l'homologie, alors que pour les variétés différentiables, plus de structures est disponible, permettant une formulation en termes de formes différentielles. Une généralisation importante de la notion d'orientabilité d'un espace est celle d'orientabilité d'une famille d'espaces paramétrés par un autre espace (un fibré) pour lequel une orientation doit être choisie dans chacun des espaces qui varie continuellement en fonction des changements des valeurs des paramètres.
Surfaces orientables droite|vignette|300x300px| Dans cette animation, une analogie simple est faite en utilisant un engrenage qui tourne selon la règle de droite sur le vecteur normal d'une surface. L'orientation des courbes donnée par les limites est donnée par la direction dans laquelle les points se déplacent lorsqu'ils sont poussés par l'engrenage mobile. Sur une surface non orientable, telle que le ruban de Möbius, la frontière devrait se déplacer dans les deux sens à la fois, ce qui n'est pas possible. Une surface S dans l'espace euclidien R3 est orientable si une figure bidimensionnelle (par exemple, 20x20px|alt=camembert divisé en trois portions de couleurs respectives bleu, rouge, vert, en tournant dans le sens horaire.) ne peut pas être déplacé autour de la surface et revenir à son point de départ afin qu'il ressemble à sa propre image miroir (20x20px|alt=camembert divisé en trois portions de couleurs respectives bleu, vert, rouge, en tournant dans le sens horaire.). Sinon, la surface n'est pas orientable. Une surface abstraite (c'est-à-dire une variété bidimensionnelle) est orientable si un concept cohérent de rotation horaire peut être défini sur la surface de manière continue. C'est-à-dire qu'une boucle circulant dans un sens sur la surface ne peut jamais être déformée en continu (sans se chevaucher) en une boucle faisant le tour inverse. Ceci s'avère être équivalent à la question de savoir si la surface ne contient aucun sous-ensemble homéomorphe au ruban de Möbius. Ainsi, pour les surfaces, le ruban de Möbius peut être considérée comme la source de toute non-orientabilité.
Pour une surface orientable, un choix cohérent de « sens horaire » (par opposition à sens anti-horaire) est appelé une orientation, et la surface est appelée orientée. Pour les surfaces noyées dans l'espace euclidien, une orientation est spécifiée par le choix d'une normale de surface n variant continuellement en chaque point. Si une telle normale existe, il y a toujours deux façons de la sélectionner : n ou -n. De manière plus générale, une surface admet exactement deux orientations, et la distinction entre une surface orientée et une surface orientable est subtile et souvent floue. Une surface orientable est une surface abstraite qui admet une orientation, tandis qu'une surface orientée est une surface qui est orientable de manière abstraite pour laquelle le choix de l'une des deux orientations possibles a été fourni.
Exemples La plupart des surfaces que nous rencontrons dans le monde physique sont orientables. Les sphères, les plans et les tores sont orientables, par exemple. Mais les rubans de Möbius, les vrais plans projectifs et les bouteilles de Klein ne sont pas orientables. Visualisés en trois dimensions, ils n'ont tous qu'un seul côté. Le plan projectif réel et la bouteille de Klein ne peuvent pas être intégrés dans , seulement immergés avec de belles intersections.
Notez que localement une surface encastrée a toujours deux côtés, donc une fourmi myope rampant sur une surface unilatérale penserait qu'il y a un « autre côté ». L'essence du caractère unilatéral est que la fourmi peut ramper d'un côté de la surface à « l'autre » sans passer par la surface ou retourner sur un bord, mais simplement en rampant assez loin.
En général, la propriété d'être orientable n'équivaut pas à être bilatéral ; cependant, cela est vrai lorsque l'espace ambiant (tel que ci-dessus) est orientable. Par exemple, un tore intégré dans
peut être unilatéral, et une bouteille de Klein dans le même espace peut être recto-verso ; ici fait référence à la bouteille de Klein.
Orientation par triangulation Toute surface a une triangulation : une décomposition en triangles telle que chaque arête d'un triangle est collée à au plus une autre arête. Chaque triangle est orienté en choisissant une direction autour du périmètre du triangle, en associant une direction à chaque arête du triangle. Si cela est fait de telle manière que, une fois collés, les bords voisins pointent dans la direction opposée, cela détermine une orientation de la surface. Un tel choix n'est possible que si la surface est orientable, et dans ce cas il y a exactement deux orientations différentes.
Si la figure 20x20px|alt=camembert divisé en trois portions de couleurs respectives bleu, rouge, vert, en tournant dans le sens horaire. peut être positionné de manière cohérente en tous les points de la surface sans se transformer en son image miroir, cela induira alors une orientation dans le sens ci-dessus sur chacun des triangles de la triangulation en sélectionnant la direction de chacun des triangles en fonction de l'ordre rouge - vert - bleu des couleurs de l'une des figures à l'intérieur du triangle.
Cette approche se généralise à toute variété n ayant une triangulation. Cependant, certaines variétés 4 n'ont pas de triangulation, et en général pour n > 4, certaines n-variétés ont des triangulations qui sont inéquivalentes.
Orientabilité et homologie Si désigne le premier groupe d'homologie d'une surface , alors est orientable si et seulement si a un sous-groupe de torsion trivial. Plus précisément, si est orientable alors est un groupe abélien libre, et sinon alors où est un abélien libre, et le facteur est généré par la courbe médiane dans un ruban de Möbius plongé dans . Orientabilité des variétés Soit M une n - variété topologique connexe. Il existe plusieurs définitions possibles de ce que cela signifie M pour être orientable. Certaines de ces définitions exigent que M ait une structure supplémentaire, comme être différentiable. Parfois, doit être transformé en cas spécial. Lorsque plusieurs de ces définitions s'appliquent à M, alors M est orientable sous une définition si et seulement si elle est orientable sous les autres . ..
Orientabilité des variétés différentiables Les définitions les plus intuitives exigent que M soit une variété différentiable. Cela signifie que les fonctions de transition dans l'atlas de M sont des fonctions C1. Une telle fonction admet un déterminant jacobien. Lorsque le déterminant jacobien est positif, on dit que la fonction de transition préserve l'orientation. Un atlas orienté sur M est un atlas pour lequel toutes les fonctions de transition préservent l'orientation. M est orientable si elle admet un atlas orienté. Lorsque , une orientation de M est un atlas orienté maximal. (Lorsque , une orientation de M est une fonction ).
L'orientabilité et les orientations peuvent également être exprimées en termes de fibré tangent. Le fibré tangent est un fibré vectoriel, il s'agit donc d'un fibré avec le groupe de structure . Autrement dit, les fonctions de transition de la variété induisent des fonctions de transition sur le fibré tangent qui sont des transformations linéaires par fibre. Si le groupe de structure peut être réduit au groupe de matrices déterminantes positives, ou de manière équivalente s'il existe un atlas dont les fonctions de transition déterminent une orientation préservant la transformation linéaire sur chaque espace tangent, alors la variété M est orientable. Inversement, M est orientable si et seulement si le groupe de structure du fibré tangent peut être réduit de cette manière. Des observations similaires peuvent être faites pour le fibré des repères.
Une autre façon de définir des orientations sur une variété différentiable consiste à utiliser des formes volume. Une forme volume est une section ω de (la n-ième puissance extérieure du fibré cotangent de M) nulle en aucun point. Par exemple, Rn a une forme volume standard donnée par . Étant donné une forme volume sur M, la famille de toutes les cartes pour lesquelles la forme volume standard revient à un multiple positif de ω est un atlas orienté. L'existence d'une forme volume équivaut donc à l'orientabilité de la variété.
Les formes volume et les vecteurs tangents peuvent être combinés pour donner encore une autre description de l'orientation. Si est une base de vecteurs tangents en un point p, alors la base est à droite si . Une fonction de transition préserve l'orientation si et seulement si elle envoie des bases à droite aux bases à droite. L'existence d'une forme volume implique une réduction du groupe de structure du fibré tangent ou du fibré des repères à . Comme précédemment, cela implique l'orientabilité de M. Inversement, si M est orientable, alors les formes volume locales peuvent être reliées pour créer une forme volume globale, l'orientabilité étant nécessaire pour garantir que la forme globale ne disparaît nulle part.
Homologie et orientabilité des variétés générales Au cœur de toutes les définitions ci-dessus de l'orientabilité d'une variété différentiable se trouve la notion d'une fonction de transition préservant l'orientation. Cela soulève la question de savoir ce que ces fonctions de transition préservent exactement. Elles ne peuvent pas préserver une orientation de la variété parce qu'une orientation de la variété est un atlas, et cela n'a aucun sens de dire qu'une fonction de transition préserve ou ne conserve pas un atlas dont elle est membre.