Cet article présente des formules trigonométriques faisant intervenir des angles multiples de .
Valeurs approchées Le nombre a pour développement décimal : , .
Le nombre a pour développement décimal : , .
Constructibilité Le nombre n'est pas constructible (on peut déduire ce cas particulier du théorème de Gauss-Wantzel, en utilisant le théorème de Wantzel et l'équation de degré 3 ci-dessous), ce qui revient à dire qu'il n'existe pas de construction à la règle et au compas de l'ennéagone régulier.
Expression par radicaux Le nombre est exprimable par radicaux complexes :
mais n'est pas exprimable par radicaux réels. C'est le casus irreducibilis.
Polynômes minimaux
L'équation a pour solutions : , ce qui montre que est la moitié d'un entier algébrique.
L'équation a pour solutions : , ce qui montre que est le quotient d'un entier algébrique par . Démonstration succincte En utilisant les polynômes de Tchebychev et en factorisant on obtient où . En changeant en dans , on obtient , et se factorise bien en . L'équation a pour solutions : , ce qui montre que est le quotient d'un entier algébrique par .
Formules homogènes On en déduit les fonctions symétriques élémentaires associées aux solutions des équations précédentes :
La deuxième relation, qui s'écrit aussi , s'appelle la première loi de Morrie.
La deuxième relation, qui s'écrit aussi , s'appelle la deuxième loi de Morrie.
Liens externes
Voir aussi
Formules trigonométriques en kπ/7 Polynômes minimaux des valeurs spéciales trigonométriques Identités trigonométriques
Catégorie:Trigonométrie Trigonometrie