vignette|Leonhard Euler (1753) En mathématiques, le théorème d'Euler ou d'Euler-Fermat en arithmétique modulaire, publié en 1761 par le mathématicien suisse Leonhard Euler (E271, écrit en 1758 et présenté en 1760)., s'énonce ainsi :
Ce théorème est une généralisation du petit théorème de Fermat qui, lui, ne traite que le cas où est un nombre premier.
Il se démontre en remarquant que l'exposant (appelé l'indicatrice de Carmichael de ) du groupe (ℤ/ℤ) des inversibles de l'anneau ℤ/ℤ est un diviseur de l'ordre de ce groupe (cette propriété, commune à tous les groupes finis, se déduit du théorème de Lagrange sur les groupes).
Il permet la réduction modulo de puissances. Par exemple, si l'on veut trouver le chiffre des unités de 7, c'est-à-dire trouver à quel nombre entre 0 et 9 est congru 7 modulo 10, il suffit de voir que 7 et 10 sont premiers entre eux, et que . Le théorème d'Euler nous indique donc que
On en déduit que
Le chiffre recherché est donc 9.
Autre démonstration Il existe de nombreuses démonstrations de ce théorème. On a déjà fourni ci-dessus celle qui généralise la preuve du petit théorème de Fermat par le théorème de Lagrange. On peut de même généraliser la démonstration arithmétique élémentaire :
Soient et un entier premier avec . Notons la classe modulo d'un entier , en particulier (où désigne le groupe des éléments inversibles modulo ).
La bijection permet de réécrire le produit : . On conclut en simplifiant par l'inversible : .
Références
Voir aussi
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