vignette|Tangentes à un cercle issues d'un point extérieur au cercle. En géométrie plane euclidienne, une tangente au cercle est une droite qui touche un cercle en un point unique, sans passer par l'intérieur du cercle. Les droites tangentes aux cercles sont le sujet de nombreux théorèmes, et apparaissent dans de nombreuses constructions à la règle et au compas. Une propriété souvent utilisée dans ces théorèmes est que la tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon du cercle passant par le point de contact.

Tangentes à un cercle

Une droite tangente à un cercle intersecte le cercle en un point unique , contrairement aux sécantes qui passent nécessairement par deux points du cercle. Cette propriété de tangence est conservée par de nombreuses transformations géométriques, comme les homothéties, les rotations, les translations, les inversions, et les projections. On dit que ces transformations conservent la structure d'incidence de la droite et du cercle, même si les images peuvent être déformées.

Le rayon d'un cercle est perpendiculaire à la tangente passant par son extrémité. Réciproquement, la perpendiculaire au rayon passant par son extrémité est la tangente au cercle. La figure géométrique résultante du cercle et sa tangente montre une symétrie axiale le long du rayon.

Aucune tangente ne passe par un point intérieur au cercle, car elle serait dès lors une sécante. Cependant, par un point extérieur au cercle, il passe deux tangentes au cercle. La figure géométrique qui résulte de cette construction a une symétrie axiale le long de la droite passant par et le centre du cercle. Ainsi, les longueurs des segments joignant aux points de tangence sont égales. Par le théorème sécante-tangente, le carré de cette longueur de tangente est égale à la puissance du point par rapport au cercle. Cette puissance est égale au produit des distances de à chacun des deux points d'intersection du cercle avec une sécante passant par .

La droite tangente et le point de tangence ont une relation de conjugaison de l'un à l'autre, qui a été généralisé dans l'idée des pôles et polaires. La même relation réciproque existe entre un point extérieur au cercle et la sécante joignant les deux points de tangence.

Si un point est extérieur au cercle de centre , et si les tangentes issues de touchent le cercle aux points et , alors les angles et sont supplémentaires (leur somme vaut 180°).

Si une corde issue du point de tangence vérifie alors .

Constructions au compas et à la règle non graduée

Tangente par un point donné du cercle La construction d'une tangente t à un cercle de centre O, passant par le point T de sa circonférence au compas et à la règle non graduée est relativement directe : tracer la droite joignant et ; la droite est la perpendiculaire à passant par .

vignette|Construction d'une tangente à un cercle donné (en noir) par un point donné T de ce cercle. Une alternative est également possible avec deux cercles sans construire explicitement la perpendiculaire au rayon : soit M, un point quelconque du cercle C ; tracer un cercle C1 de centre M passant par T ; soit N désignant la deuxième intersection des cercles C et C1 ; tracer un cercle C2 de centre T passant par N ; soit P l'autre intersection des cercles C1 et C2 ; la droite (PT) est tangente au cercle C en T.

Tangentes passant par un point extérieur au cercle

Le théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle peut être utilisé pour construire les tangentes passant par un point extérieur au cercle . tracer un cercle de diamètre , donc centré au milieu du segment , les points d'intersection et de ce cercle avec le cercle sont les points de tangence des deux tangentes issues de .

Une autre méthode de construction des tangentes passant par un point extérieur au cercle en n'utilisant que la règle non graduée : Tracer trois droites différentes passant par le point qui coupent le cercle deux fois ; Soient A, A, B, B, C, C, les six points d'intersection, les deux points avec la même lettre se trouvant sur la même ligne, le point d'indice 1 est le plus proche de P ; Soit D le point d'intersection de AB et AB ; De même, soient E le point d'intersection de BC et BC. tracer la droite (DE) les points d'intersection de (DE) sont les points de tangence recherchés.

Polygones circonscriptibles

Un polygone circonscriptible est un polygone dont chaque côté est tangent à un cercle particulier, son cercle inscrit. Tout triangle est circonscriptible ainsi que tout polygone régulier ; de plus, pour chaque nombre de côtés de polygone, il y a une infinité de polygones circonscriptibles non-isométriques.

Théorème des quadrilatères circonscriptibles et cercles inscrits Un quadrilatère circonscriptible (ou tangentiel) ABCD est un quadrliatère convexe dont les quatre côtés sont tangents à un cercle donné C. De façon équivalente, le cercle C est inscrit dans le quadrilatère ABCD. Par le théorème de Pitot, les sommes des longueurs des côtés opposés d'un tel quadrilatère sont égales :

Cette conclusion suit l'égalité des segments tangents des quatre côtés d'un quadrilatère. On note les points de tangence P (sur le côté AB), Q (sur le côté BC), R (sur le côté CD) et S (sur le côté DA). Les segments tangents symétriques par rapport à chaque point de ABCD sont égaux : , , et . Mais chaque côté du quadrilatère est composé de deux tels segments tangents :

prouvant le théorème.

La réciproque est aussi vraie : un cercle peut être inscrit dans chaque quadrilatère dans lequel les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales.

Ce théorème et sa réciproque ont plusieurs applications : on en déduit aussitôt qu'aucun rectangle n'est circonscriptible à moins que ce soit un carré, et qu'un losange a un cercle inscrit mais un parallélogramme n'en a pas dans le cas général.

Tangentes à deux cercles

Pour deux cercles extérieurs l'un de l'autre, il existe en général quatre droites distinctes qui sont tangentes aux deux cercles (bitangentes), mais dans certains cas particuliers, il peut y en avoir moins. Pour deux d'entre elles, les tangentes extérieures, les deux cercles sont du même côté de la ligne ; pour les deux autres, les tangents intérieures, les cercles sont de chaque côté. Les deux tangentes extérieures s'intersectent au centre d'homothétie externe, tandis que les deux tangentes intérieures s'intersectent au centre d'homothétie interne. Les deux centres d'homothétie et les centres des cercles sont alignés, le centre d'homothétie intérieure étant entre les deux centres des deux cercles et plus proche du centre du plus petit cercle, alors que le centre extérieur n'est pas entre les deux centres de cercle, mais à l'extérieur et du côté du centre du petit cercle. Si les deux cercles sont de même rayon, il y a toujours quatre bitangentes mais les tangentes extérieures sont parallèles et il n'existe pas de centre d'homothétie extérieur dans le plan affine ; dans le plan projectif, le centre d'homothétie extérieur est au point à l'infini correspondant à la pente de ces lignes.

Tangente extérieure

La ligne rouge joignant les points et est la tangente extérieure entre deux cercles. Avec les points donnés , , les points , peuvent être aisément calculés avec l'angle :

Ici et désignent les rayons des deux cercles et l'angle peut être calculés par de la trigonométrie de base. On a en effet avec et ().

Tangente intérieure

Une tangente intérieure est celle qui intersecte le segment joignant les deux centres des cercles. Cette droite ne peut être définie dans les cas où les cercles se croisent.

Construction Les droites bitangentes peuvent être construites soit en construisant les centres homothétiques, comme montré dans cet article, puis en construisant les tangentes passant par ces centres, ou de façon plus directe. Ces méthodes ne fonctionnent pas dans les cas dégénérés, mais on peut les construire comme des cas limites.

Géométrie synthétique Soient O1 et O2 les centres de deux cercles, C1 et C2, de rayons respectifs r1 et r2, avec r1 > r2 ; le cercle C1 est donc défini comme le plus grand des deux cercles. Il existe deux méthodes différentes pour construire les tangentes extérieures et intérieures.

Tangentes extérieures

Un nouveau cercle C3 de rayon r1 − r2 est tracé, centré en O1. Par la méthode décrite ci-dessus, deux droites sont tracées depuis O2, tangentes à ce nouveau cercle. Ces droites sont parallèles aux tangentes recherchées, car la situation correspond à la réduction des deux cercles C1 et C2 par un taux constant, r2, qui réduit C2 à un point. Deux droites radiales peuvent être tracées depuis le centre O1 par les points de tangentes sur C3; ils intersectent C1 aux points de tangence désirés. Les droites tangentes extérieures recherchées sont les droites perpendiculaires aux droites radiales en ces points de tangence, qui peuvent être construites comme vu plus haut.

Tangentes intérieures

Un nouveau cercle C3 de rayon r1 + r2 est tracé, centré en O1. Par la méthode décrite ci-dessus, deux droites sont tracées depuis O2, tangentes à ce nouveau cercle. Ces droites sont parallèles aux tangentes recherchées, car la situation correspond à la réduction de C2 à un point tout en agrandissant C par un taux constant, r2. Deux droites radiales peuvent être tracées depuis le centre O1 par les points de tangentes sur C3; ils intersectent C1 aux points de tangence désirés. Les droites tangentes intérieures recherchées sont les droites perpendiculaires aux droites radiales en ces points de tangence, qui peuvent être construites comme vu plus haut.

Géométrie analytique Soient les cercles de centres c1 = (x1,y1) et c2 = (x2,y2) de rayons respectifs r1 et r2. En donnant l'équation d'une droite , avec la normalisation a2 + b2 = 1, alors une bitangente aura pour équation :

Pour trouver , on commence par soustraire la première équation à la deuxième :

Si est la distance de c1 à c2, on peut normaliser par , et pour simplifier les équations, ce qui donne

La résolution donne deux solutions (k = ±1) pour les tangentes extérieures :

Géométriquement, cela correspond à calculer l'angle entre les tangentes et la droite des centres, puis l'utiliser pour faire pivoter l'équation de la droite des centres pour trouver l'équation de la tangente. L'angle est obtenu par le calcul des fonctions trigonométriques d'un triangle rectangle dont les sommets sont les centres d'homothétie (extérieurs), un centre d'un cercle, et un point tangent ; l'hypoténuse repose sur la tangente, le rayon est opposé à l'angle, le côté adjacent repose sur la droite des centres.

(X, Y) est le vecteur unité dirigé de c1 vers c2, tandis que R est où est l'angle entre la droite des centres et une tangente. est alors (selon le signe de , ou l'angle de rotation), et les équations précédentes expriment la rotation de (X, Y) , selon la matrice de rotation :

k = 1 est la tangente à droite des cercles, vue de c1 vers c2. k = −1 est la tangente à gauche des cercles, vue de c2 vers c1.

On est resté ici dans le cas des rayons positifs. Si r1 est positif et r2 négatif, alors c1 va reposer à la gauche de chaque droite et c2 à leur droite, et les deux tangentes vont se croiser. Dans ce cas, on obtient les quatre solutions. Échanger les signes de rayons inverse k = 1 et k = −1.

Vecteurs

En général les points de tangence t1 et t2 pour les quatre droites tangentes aux deux cercles avec pour centres v1 et v2 et pour rayons r1 et r2 sont donnés en résolvant les équations vectorielles suivantes :

Ces équations expriment que la droite tangente, qui est parallèle à , est orthogonale au rayon, et que les points de tangence sont sur leurs cercles respectifs.

On obtient ainsi quatre équations quadratiques sur des vecteurs en dimension 2, ce qui donne en général quatre paires de solutions.

Cas dégénérés