La théorie de Munk () ou théorie des corps élancés () est un modèle visant à expliquer le comportement aérodynamique d’un corps élancé en incidence dans des fluides non visqueux. Plutôt que de se concentrer sur la trajectoire des particules du fluide, cette théorie modélise les échanges de quantité de mouvement entre le corps élancé et le fluide traversé.
Émise en 1921 par Max M. Munk dans un rapport historique du National Advisory Committee for Aeronautics, la théorie de Munk conduira à d'importants progrès, notamment dans le calcul de la stabilité aérodynamique des fusées et des missiles en déplacement dans l'atmosphèreLes contributions de Max M. Munk ont été jugées si remarquables par le National Advisory Committee for Aeronautics (NACA, le prédécesseur de la NASA) qu'en 1925 cet organisme a publié un article de Joseph Sweetman Ames intitulé A Résumé of the Advances in Theoretical Aerodynamics Made by Max M. Munk. .
Pour démontrer sa théorie, Munk se base sur l'observation que les dirigeables, alors largement utilisés, doivent déplacer une masse d’air considérable pour se frayer un passage à travers l’atmosphèreLe Zeppelin Hindenburg déplaçait jusqu’à d’air à la vitesse maximale de .. En s'appuyant sur la deuxième loi de Newton, il estime les forces impliquées dans ce déplacement massif d'air, permettant ainsi de modéliser les efforts aérodynamiques en jeu.
Principes et hypothèses Munk, en s’en tenant à l’observation des échanges de quantité de mouvement entre les dirigeables et l’air environnant, a dégagé une méthode de calcul simple des efforts de l’air déplacé en réaction à ce déplacement, appliquée aux dirigeables.
Notion de corps élancé Munk définit un corps élancé comme présentant une pente locale faible par rapport à son axe géométrique . Sa surface extérieure présente ainsi un angle faible par rapport au vent relatif (vitesse relative du fluide en amont du corps à incidence nulle). Une autre définition d’un corps élancé consiste à dire que l’évolution de sa section frontale est suffisamment progressive le long de son grand axe, de sorte à ce qu’il ne provoque ni sous-vitesse ni survitesse significative de l’écoulement à sa surface.
Munk divise ensuite l’air environnant de ce corps élancé en tranches normales à son axe, en supposant que l’air est non visqueux.
Une fois cette hypothèse posée, Munk s'intéresse à ce qu'il se passe dans l’air d’une de ces tranches élémentaires lorsque le corps se déplace d’une longueur élémentaire correspondant à son épaisseur. Il considère que les mouvements d’air dus à l’avancée du corps se produisent uniquement à l’intérieur de cette tranche d’air, c'est-à-dire sous forme d’un écoulement bidimensionnel (2D) dans cette tranche. Cela suppose implicitement que le flux d'air généré par chaque tranche n'affecte pas les autres tranches, ce qui est valable si le corps est suffisamment élancé et si ses sections ne varient pas brusquementExtension of Lighthill’s slender-body theory to moderate aspect ratios, Zhanle Yu, Christophe Eloy, HAL, On peut admettre cette simplification plus facilement si l’on considère que la pente très faible du corps élancé fait que celui-ci se glisse facilement sous les particules d’air en les écartant (diamétralement) mais sans les entraîner en avant..
À l'issue de ces réflexions, Munk a calculé que l’effort normal élémentaire suscité par l’incidence sur la tranche du corps dessinée ci-dessus estDans ce résultat n'est pas tenu compte du coefficient multiplicateur ; est le coefficient de masse additive pour les déplacements longitudinaux du corps et le coefficient de masse additive pour les déplacements normaux du corps dans le plan de l'incidence. De fait, en 1977, Jorgensen écrira : :
libellé où est la pression dynamique de l’écoulement, est la variation de section du corps élancé sur l’épaisseur de la tranche, et l’incidence.
Pour les petites incidences (inférieures à 10°), le sinus peut évidemment être pris comme égal à l'angle en radians, ce qui donne :
Exploitations pratiques de ce résultat
Lorsque la section du corps reste constante (comme la partie cylindrique médiane d’un dirigeable ou le fuselage de fusée), la force normale de toutes les tranches concernées est nulle. Cette nullité de la portance des parties cylindriques d’un corps semble paradoxale ; par exemple sur l'image ci-contre, il n’est pas naturel de penser que le fuselage cylindrique, bien que placé en incidence par rapport au vent, ne développe pas de portance.
Pourtant ce constat est assez bien vérifié par les mesures en soufflerie, même si les parties cylindriques des fuselages produisent quand-même, aux petits angles d’incidence, une faible portance normale linéaireLe qualificatif linéaire signifie que cette portance est proportionnelle à l'angle d'incidence.Cette faible portance normale linéaire du fuselage cylindrique est généralement négligée par les amateurs fuséistes. (voir plus bas à ce sujet la section déroulante "La vraie valeur du des parties cylindriques" ainsi que les articles Stabilité aérodynamique de la fusée et Rapport des Barrowman).
Une deuxième remarque importante est que lorsque l’accroissement de la section élémentaire du corps élancé est positif, la force normale élémentaire est aussi positive (ce qui correspond à une force vers le haut sur les images ci-contre où les corps ont une incidence vers le haut). Dans le cas inverse (accroissement négatif) la force normale élémentaire est négative (ce qui est très contre-intuitif).
L’intégration des efforts normaux élémentaires au long d’une ogive de fusée, par exemple, résulte donc en une force normale positive (image ci-dessus). Ce qui implique que lorsqu'une fusée prend de l’incidence, la force normale qui naît sur l’ogive crée un moment d’instabilité par rapport au centre des masses de la fusée (si celui-ci est situé, comme généralement, très en arrière de l'ogive).
De même, la partie avant d'un dirigeable (son ogive) développe pour une incidence positive (vers le haut) une force normale positive (vers le haut).
Par contre, la partie arrière d'un dirigeable, du fait que ses sections normales décroissent, développe une portance négative (une déportance). Cette déportance de la partie arrière du dirigeable, en combinaison avec la portance de la partie avant, va créer un moment déstabilisateur (parfois nommé moment de Munk), moment qui va tendre à augmenter l'incidence du dirigeable (c.-à-d. que si une perturbation atmosphérique place le dirigeable en légère incidence, cette incidence ne va faire que croître jusqu'à placer le dirigeable en travers du vent de sa vitesse). Sur l'image ci-contre, la portance des tranches normales d'un corps à double pointes est représentée par la courbe bleue d'après la théorie des corps élancés. En rouge à marques carrées est la courbe des portances des tranches normales réellement mesurées. Les deux vecteurs bleus représentent la portance de l'avant-corps et la déportance de l'arrière-corps tirées de ces mesures (par intégration). On note que cette dernière déportance mesurée est nettement plus faible que la déportance prédite par la théorie des corps élancés. Appliquée à un corps élancé se terminant par une pointe arrière, la théorie des corps élancés promet en effet une déportance de l'arrière-corps de même module que la portance d'avant-corps. Ces deux forces se composent alors pour créer : d'une part une résultante nulle (le corps ne développe donc théoriquement aucune portance lorsqu'il est placé en incidence) ; d'autre part le fameux moment de déstabilisation déjà évoqué (ou moment de Munk). Le centre de portance aérodynamiqueLe centre de portance aérodynamique ou (CPA) est le point d'où il est possible de tenir un corps en incidence sans faire usage d'un moment (en usant uniquement d'une force). d'un tel corps élancé à pointe arrière se trouve projeté à l'infini avant. Nous verrons plus loin que, d'après les mesures en soufflerie, ce centre de portance, ne se trouve pas à l'infini avant mais quand-même très en avant des corps (dans l'image ci-contre, portance de l'avant-corps et déportance de l'arrière-corps sont composés graphiquement pour dessiner le Centre de portance aérodynamique mesuré du corps). La même composition de ces forces résulte également en une portance (ce qui est vérifié par la portance que développent les dirigeables lorsqu'ils prennent de l'incidence).
Les résultats de la théorie des corps élancés furent très tôt utilisés pour des corps plus véloces que les dirigeables : les fusées (voir l’article Rapport des Barrowman). Dans l’un de ses textes, H. Julian Allen (qui allait étendre la théorie des corps élancés de Munk aux grandes incidences et aux fluides visqueux) précise d’ailleurs à ce sujet, citant Tsien :
Confrontation de la théorie avec les mesures expérimentales
Bien que le raisonnement de Munk fasse appel à beaucoup d’hypothèses simplificatrices, les mesures en soufflerie donnent des résultats tout à fait en accord avec la théorie des corps élancés (surtout pour les avant-corps).
Ainsi, l'image ci-contre compare la distribution des forces normales mesurée sur un modèle de dirigeable à 10° d'incidence (en vert clair) avec la distribution déterminée par la Théorie des corps élancés (en rouge). Pour la partie avant du dirigeable, l'accord est assez bon (sauf au point d'arrêt).
De sorte que les calculs de stabilité aérodynamique des fusées sont toujours basés sur ladite théorie (et même, pour les fusées d'amateurs, dans sa version la plus simple). Deux exemples parlants, à ce sujet, sont la force normale développée par une ogive de fusée et le point d’application de cette force normale : les fuséistes amateursEn France, ces fuséistes amateurs n'ont le droit de lancer leurs fusées à feu que sous le contrôle de l'association Planète Sciences. considèrent la force normale développée par l’ogive comme valant toujours (si est la pression dynamique de l'écoulement, l'incidence de la fusée en radians et la section maximale de l'ogive. Ce qui signifie que le coefficient de force normale de l'ogive est (en référence à la section maximale de l'ogive et par radian), ceci pour des ogives de toutes les formes, y compris l'ogive plate (ou l'absence d'ogive qui donne une tête plate à la fusée) (voir plus bas).
De même, le point d'application de la force normale développée par une ogive est remarquablement bien déterminé par la théorie des corps élancés (la position de cette force normale est donnée dans l'image ci-contre).
D'une façon générale, la position relative de la force normale développée par l'ogive (position nommée XCPA) est donnée par l'équation :
, et étant le volume, la section maximale et la longueur de l'ogive (cette équation n'est pas donnée dans le rapport des Barrowman mais dans un rapport suivant de James S. Barrowman seulOn la trouve aussi dans le Bonnet et Luneau : ).
En ce qui concerne les arrière-corps, les prédictions de la théorie des corps élancés se montrent moins précises (on l'observe sur la première image de cette section où la déportance arrière est, en ordre de grandeur, la moitié de la portance avant alors que la Théorie des corps élancés la prédit égale à la portance avant). La raison en est que cette théorie ne prend pas en compte l’épaisseur de la couche Limite sur la partie arrière des corps profilés (couche limite qui devient très importante, en comparaison avec son épaisseur sur la partie avant)Hoerner écrit d’ailleurs p 19-15 de son ouvrage Lift : . De sorte que le moment de déstabilisation d'un corps profilé est plus faible que prédit par la théorie.