En mathématiques, les fonctions lemniscatiques sont des fonctions elliptiques liées à la longueur d'arc d'une lemniscate de Bernoulli ; ces fonctions ont beaucoup d'analogies avec les fonctions trigonométriques. Elles ont été étudiées par Giulio Fagnano en 1718 ; leur analyse approfondie, et en particulier la détermination de leurs périodes, a été obtenue par Carl Friedrich Gauss en 1796. Ces fonctions ont un réseau de périodes carré, et sont étroitement reliées à la fonction elliptique de Weierstrass dont les invariants sont et . Dans le cas des fonctions lemniscatiques, ces périodes ( et ) sont liées à la constante de Gauss ; on a (où est la fonction gamma).
Fonctions sinus et cosinus lemniscatiques Le sinus lemniscatique (en latin ) et le cosinus lemniscatique (en latin ) (notés ou et ou ) sont des analogues des fonctions sinus et cosinus usuelles, en remplaçant le cercle par une lemniscate (de Bernoulli). Elles sont définies (puis prolongées par symétrie et périodicité) par
et (les fonctions trigonométriques usuelles peuvent être définies de même, en remplaçant par ). Leurs prolongements analytiques au plan complexe sont des fonctions elliptiques doublement périodiques, de périodes et , où est la constante de Gauss donnée par et l'unité imaginaire ; la demi-période (analogue du nombre en trigonométrie) est souvent notée . Les graphes des deux fonctions ont des symétries et des relations entre eux analogues à celles des graphes des fonctions trigonométriques (en remplaçant par ) ; en particulier (symétrie par rapport à l'axe d'équation ).
Longueur d'un arc de lemniscate
La lemniscate de Bernoulli, d'équation cartésienne , est formée des points dont le produit des distances aux deux points , (les foyers) est constant et vaut . La longueur de l'arc le plus court allant de l'origine à un point situé à la distance de cette origine est donnée par et par conséquent les fonctions lemniscatiques donnent la distance à l'origine en fonction de la longueur des arcs.
Propriétés algébriques On a entre le sinus et le cosinus lemniscatique la relation , qu'on peut réécrire .
On a également des formules d'addition :
qui s'écrivent aussi : , où est la dérivée de sl (voir la section suivante).
En utilisant la fonction arc tangente, ces formules se simplifient en :
très proches sous cette forme des formules d'addition des fonctions trigonométriques.
Dérivées Ces fonctions ont les dérivées suivantes :
,
d'où l'on déduit les dérivées secondes :
Ces fonctions sont solutions de l'équation différentielle
Utilisant la fonction arc tangente, on a les relations plus simples :
.
Valeurs remarquables On a les valeurs remarquables du sinus lemniscatique suivantes (on rappelle que est la demi-période) :
La relation permet d'en déduire les valeurs de ; par exemple, on peut obtenir par simple symétrie : .
Fonctions réciproques
La fonction réciproque de la fonction sinus lemniscatique, notée , est définie par la relation , valable dans des intervalles convenables (la restriction de aux intervalles [-1,1] et étant une bijection). On voit aisément, en revenant à la définition, que est la primitive de la fonction qui s'annule en 0 ; cette primitive est une intégrale elliptique de première espèce, valant plus précisément .
Voir aussi Constante de Gauss
Références
Liens externes
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