En physique, la quantification canonique est une procédure pour quantifier une théorie classique, tout en essayant de préserver au maximum la structure formelle, comme les symétries, de la théorie classique.
Historiquement, ce n'était pas tout à fait la voie de Werner Heisenberg pour obtenir la mécanique quantique, mais Paul Dirac l'a introduite dans sa thèse de doctorat de 1926, la «méthode de l'analogie classique» pour la quantification, et l'a détaillée dans son texte classique. Le mot canonique provient de l'approche hamiltonienne de la mécanique classique, dans laquelle la dynamique d'un système est générée via des crochets de Poisson canoniques, une structure qui n'est que partiellement préservée dans la quantification canonique.
Cette méthode a ensuite été utilisée dans le contexte de la théorie quantique des champs par Paul Dirac, dans sa construction de l'électrodynamique quantique. Dans le contexte de la théorie des champs, elle est également appelée deuxième quantification, contrairement à la première quantification semi-classique pour les particules uniques.
Histoire Lors de son développement, la physique quantique ne traitait que de la quantification du mouvement des particules, laissant le champ électromagnétique classique, d'où le nom de mécanique quantique.
Plus tard, le champ électromagnétique a également été quantifié, et même les particules elles-mêmes sont devenues représentées par des champs quantifiés, ce qui a conduit au développement de l'électrodynamique quantique (QED) et de la théorie des champs quantiques en général. Ainsi, par convention, la forme originale de la mécanique quantique des particules est désignée comme première quantification, tandis que la théorie quantique des champs est formulée dans le langage de la seconde quantification .
Première quantification
Systèmes à particules uniques
L'exposition suivante est basée sur le traité de Dirac sur la mécanique quantique. Dans la mécanique classique d'une particule, il existe des variables dynamiques qui sont appelées coordonnées () et moment (). Celles-ci spécifient l'état d'un système classique. La structure canonique (également connue sous le nom de structure symplectique) de la mécanique classique se compose de crochets de Poisson englobant ces variables, telles que
toutes les transformations de variables qui conservent ces parenthèses sont autorisées comme des transformations canoniques en mécanique classique. Le mouvement lui-même est une telle transformation canonique.
En revanche, en mécanique quantique, toutes les caractéristiques significatives d'une particule sont contenues dans un état appelé un état quantique. Les observables sont représentés par des opérateurs agissant sur un espace de Hilbert de tels états quantiques.
La valeur propre d'un opérateur agissant sur l'un de ses états propres représente la valeur d'une mesure sur la particule ainsi représentée. Par exemple, l'énergie est lue par l'opérateur hamiltonien agir sur un état , cédant
,
où est l'énergie caractéristique associée à cet état propre .
Tout état pourrait être représenté comme une combinaison linéaire d'états propres d'énergie; par exemple,
,
Où sont des coefficients constants.
Comme en mécanique classique, tous les opérateurs dynamiques peuvent être représentés par des fonctions de position et d'impulsion, respectivement et . La connexion entre cette représentation et la représentation de fonction d'onde plus habituelle est donnée par l'état propre de l'opérateur de position représentant une particule en position , qui est désigné par un élément dans l'espace de Hilbert, et qui satisfait . Donc, .
De même, les états propres de l'opérateur momentum spécifient la représentation de la dynamique : .
La relation centrale entre ces opérateurs est un analogue quantique du crochet de Poisson ci-dessus de la mécanique classique, la relation de commutation canonique ,
.
Cette relation encode (et conduit formellement) le principe d'incertitude, sous la forme . Cette structure algébrique peut donc être considérée comme l'analogue quantique de la structure canonique de la mécanique classique.
Systèmes à plusieurs particules Lorsqu'on se tourne vers des systèmes à N particules, c'est-à-dire des systèmes contenant N particules identiques (particules caractérisées par les mêmes nombres quantiques tels que la masse, la charge et le spin ), il est nécessaire d'étendre la fonction d'état d'une seule particule à la fonction d'état de N particules . Une différence fondamentale entre la mécanique classique et quantique concerne le concept d'indiscernabilité de particules identiques. Seules deux espèces de particules sont ainsi possibles en physique quantique, les dits bosons et les fermions qui obéissent aux règles:
(bosons),
(fermions).
Où nous avons échangé deux coordonnées de la fonction étatique. La fonction d'onde habituelle est obtenue en utilisant le déterminant de Slater et la théorie des particules identiques. En utilisant cette base, il est possible de résoudre divers problèmes à plusieurs particules.
Problèmes et limites
Crochets classiques et quantiques Le livre de Dirac détaille sa règle populaire de remplacer les crochets de Poisson par des commutateurs :
On pourrait interpréter cette proposition comme disant que nous devrions rechercher une "carte de quantification", cartographiant une fonction sur l'espace des phases classique à un opérateur sur l'espace quantique de Hilbert tel que
On sait maintenant qu'il n'existe aucune carte de quantification raisonnable satisfaisant exactement l'identité ci-dessus pour toutes les fonctions et .
Théorème de Groenewold Une version concrète de la revendication d'impossibilité ci-dessus est le théorème de Groenewold (d'après le physicien théoricien néerlandais Hilbrand J. Groenewold), que nous décrivons pour un système avec un degré de liberté pour la simplicité. Acceptons les "règles de base" suivantes pour la carte . Premièrement, doit envoyer la fonction constante 1 à l'opérateur d'identité. Deuxièmement, devrait prendre et aux opérateurs de position et d'un opérateur momentum et . Troisièmement, devrait prendre un polynôme dans et à un "polynôme" dans et , c'est-à-dire une combinaison linéaire finie de produits de et , qui peuvent être prises dans n'importe quel ordre souhaité. Dans sa forme la plus simple, le théorème de Groenewold dit qu'il n'y a pas de carte satisfaisant les règles de base ci-dessus et aussi la condition de crochet
Pour tous les polynômes et .
En fait, l'inexistence d'une telle carte se produit déjà au moment où nous atteignons des polynômes de degré quatre. Notez que le crochet de Poisson de deux polynômes de degré quatre a le degré six, il n'est donc pas vraiment logique d'exiger une application sur des polynômes de degré quatre pour respecter la condition de crochet. Nous pouvons cependant exiger que la condition entre parenthèses soit maintenue et avoir le troisième degré. Le théorème de Groenewold Theorem 13.13 peut être énoncé comme suit:
Théorème : il n'y a pas de carte de quantification (suivant les règles de base ci-dessus) sur les polynômes de degré inférieur ou égal à quatre qui satisfait
n'importe quand et ont un degré inférieur ou égal à trois. (Notez que dans ce cas, a un degré inférieur ou égal à quatre. )
La preuve peut être esquissée comme suitH.J. Groenewold, "On the Principles of elementary quantum mechanics", Physica, 12 (1946) pp. 405–46. Section 13.4. Supposons que nous essayions d'abord de trouver une carte de quantification sur des polynômes de degré inférieur ou égal à trois satisfaisant la condition de parenthèse chaque fois que a un degré inférieur ou égal à deux et a un degré inférieur ou égal à deux. Ensuite, il y a précisément une telle carte, et c'est la quantification de Weyl . Le résultat de l'impossibilité est maintenant obtenu en écrivant le même polynôme de degré quatre comme un crochet de Poisson de polynômes de degré trois de deux manières différentes. Plus précisément, nous avons
D'autre part, nous avons déjà vu que s'il doit y avoir une carte de quantification sur des polynômes de degré trois, ce doit être la quantification de Weyl; c'est-à-dire que nous avons déjà déterminé la seule quantification possible de tous les polynômes cubiques ci-dessus.
L'argument se termine en calculant par force brute que
ne coïncide pas avec
.
Ainsi, nous avons deux exigences incompatibles pour la valeur de .
Axiomes pour la quantification Si représente la carte de quantification qui agit sur les fonctions dans l'espace des phases classique, alors les propriétés suivantes sont généralement considérées comme souhaitablesJ. R. Shewell, "On the Formation of Quantum-Mechanical Operators." Am.J.Phys., 27 (1959). :
et (opérateurs élémentaires de position / momentum) est une carte linéaire (Crochet de Poisson) (Règle de von Neumann).
Cependant, non seulement ces quatre propriétés sont incompatibles entre elles, mais trois d'entre elles sont également incompatiblesS. T. Ali, M. Engliš, "Quantization Methods: A Guide for Physicists and Analysts." Rev.Math.Phys., 17 (2005) pp. 391-490. ! En fait, les seules paires de ces propriétés qui conduisent à des solutions auto-cohérentes et non triviales sont 2 & 3, et éventuellement 1 & 3 ou 1 & 4. L'acceptation des propriétés 1 et 2, ainsi qu'une condition plus faible que 3 ne soit vraie qu’asymptotiquement dans la limite (voir crochet Moyal), conduit à une quantification de la déformation, et certaines informations superflues doivent être fournies, comme dans les théories standard utilisées dans la plupart de la physique. Accepter les propriétés 1 & 2 & 3 mais restreindre l'espace des observables quantifiables pour exclure des termes tels que les cubiques dans l'exemple ci-dessus revient à une quantification géométrique.
Deuxième quantification: théorie des champs La mécanique quantique a réussi à décrire des systèmes non relativistes avec un nombre fixe de particules, mais un nouveau cadre était nécessaire pour décrire les systèmes dans lesquels les particules peuvent être créées ou détruites, par exemple le champ électromagnétique, considéré comme une collection de photons. On s'est finalement rendu compte que la relativité restreinte était incompatible avec la mécanique quantique à particule unique, de sorte que toutes les particules sont maintenant décrites de manière relativiste par des champs quantiques.
Lorsque la procédure de quantification canonique est appliquée à un champ, tel que le champ électromagnétique, les variables de champ classiques deviennent des opérateurs quantiques. Ainsi, les modes normaux comprenant l'amplitude du champ deviennent quantifiés, et les quanta sont identifiés avec des particules individuelles ou des excitations. Par exemple, les quanta du champ électromagnétique sont identifiés avec des photons. Contrairement à la première quantification, la deuxième quantification conventionnelle est totalement sans ambiguïté, en fait un foncteur.
Historiquement, la quantification de la théorie classique d'une seule particule a donné lieu à une fonction d'onde. Les équations classiques du mouvement d'un champ sont généralement de forme identique aux équations (quantiques) pour la fonction d'onde de l'un de ses quanta. Par exemple, l'équation de Klein – Gordon est l'équation classique du mouvement pour un champ scalaire libre, mais aussi l'équation quantique pour une fonction d'onde de particule scalaire. Cela signifiait que quantifier un champ semblait être similaire à la quantification d'une théorie déjà quantifiée, ce qui a conduit au terme fantaisiste de seconde quantification dans la littérature ancienne, qui est toujours utilisé pour décrire la quantification de champ, même si l'interprétation moderne détaillée est différente.