vignette En géométrie, la relation de Sylvester, portant le nom de James Joseph Sylvester, est une relation vectorielle entre le centre du cercle circonscrit d'un triangle et son orthocentre.
Énoncé Soit le centre du cercle circonscrit au triangle , son orthocentre. La relation de Sylvester s'écrit Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, , p. 251Heinrich Dörrie: 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Dover, 1965, , S. 142 (online-copy at the internet archive) :
. Comme le centre de gravité du triangle vérifie , cette relation est en fait équivalente à la relation vectorielle d'Euler : .
Démonstration Soit le point défini par , et le projeté de sur , qui est aussi le milieu de .
Alors ;
est donc orthogonal à , et se trouve sur la hauteur issue de .
Par symétrie, se trouve donc sur les trois hauteurs, et n'est autre que l'orthocentre , CQFD.
Références
Liens externes Weisstein, Eric W. "Sylvester's Triangle Problem" . MathWorld . Darij Grinberg: Solution to American Mathematical Monthly Problem 11398 par Stanley Huang
Catégorie:Géométrie du triangle