La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960 généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.

Définition Soit une suite d'espaces mesurables. Soient et deux suites de mesures de probabilités sur .

La suite est dite contiguë par rapport à la suite si pour toute séquence d'événements , . On note alors .

Si on a à la fois et , les suites et sont dites mutuellement contiguës et l'on note .

Lien avec l'absolue continuité La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, , et , on obtient que, si alors , c'est-à-dire que est absolument continue par rapport à .

La contiguïté assure l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité et convergent en distribution vers deux mesures et , et que la suite est contigüe par rapport à , alors est absolument continue par rapport à .

Attention toutefois à ne pas confondre contigüité entre deux suites avec l'absolue continuité entre les termes de ces suites. Il existe en effet des suites et vérifiant pour tout , (le symbole « » désignant l'absolue continuité) sans qu'on ait . On peut par exemple prendre constamment égale à la mesure de probabilité définie par une loi normale centrée réduite et égale à la mesure de probabilité d'une loi normale d'espérance et de variance 1.

Autres définitions Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment.

Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables et deux suites de mesures de probabilités et sur .

La suite est contiguë par rapport à si, pour toute suite de variables aléatoires , . En d'autres termes, si tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures , alors tend aussi vers 0 sous la suite de mesures . La suite est contiguë par rapport à si .

Premier lemme de Le Cam Un résultat connu sous le nom de « premier lemme de Le Cam » permet d'établir d'autres caractérisations de la contigüité.

Dans ce résultat, la notation (respectivement ) désigne la dérivée de Radon-Nikodym de par rapport à (respectivement de par rapport à ). En pratique cela se ramène souvent au rapport de la densité de probabilité associée à sur celle associée à (respectivement celle associée à sur celle associée à ), lorsque ces densités existent.

Les convergences en distribution de et de dans le résultat ci-dessus peuvent être remplacées par les convergences en distribution de sous-suites de et de sans perte de généralité.

Voir aussi Absolue continuité Normalité asymptotique locale Lucien Le Cam

Références

Catégorie:Théorie des probabilités