vignette| L'heptagone régulier convexe (côtés rouges), avec ses diagonales longues (en vert) et courtes (en bleu). On compte quatorze triangles heptagonaux isométriques constitués d'un côté vert, un bleu et un rouge. vignette| Triangle heptagonal. En géométrie, le triangle heptagonal est le triangle, unique à similitude près, d'angles de mesures en radians , et , soit environ 26°, 51° et 103°. C'est l'unique triangle dont les valeurs des angles sont dans des rapports 4:2:1.
On l’obtient dans l'heptagone régulier convexe en partant d'un des sommets et en prenant les deuxième et quatrième sommets. Ses côtés sont donc constitués d'un côté de l'heptagone régulier, et deux de ses diagonales (une longue et une courte).
Comme le triangle d'or, dont les angles sont dans les rapports 2:2:1, le triangle heptagonal a de nombreuses propriétés remarquables.
Le triangle heptagonal et ses centres
Le centre du cercle d'Euler du triangle heptagonal est aussi son premier point de Brocard.. Le second point de Brocard se trouve sur le cercle d'Euler..
Le centre du cercle circonscrit et les points de Fermat du triangle heptagonal forment un triangle équilatéral.
En notant le rayon du cercle circonscrit et le centre du cercle inscrit, on peut exprimer la distance entre le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre par
et la distance entre le centre du cercle circonscrit à l'orthocentre par
Les deux tangentes au cercle circonscrit issues de l'orthocentre sont perpendiculaires.
Relations entre les distances
Longueurs des côtés
Les côtés du triangle heptagonal coïncident, par définition, avec le côté de l'heptagone régulier, sa diagonale courte et sa diagonale longue. Ces trois longueurs vérifient.
(la dernière est connue sous le nom d') et donc
et
Ainsi, les rapports , , et sont les racines de l'équation cubique
Il n'existe aucune expression algébrique réelle pour les solutions de cette équation, car c'est un exemple de . On a cependant les approximations
D'autre part :
les nombres..
vérifient l'équation cubique
les nombres
vérifient l'équation cubique
les nombres
vérifient l'équation cubique
On a
et
On a aussi
Hauteurs
Les hauteurs , et vérifient
et .
La longueur de la hauteur issue de est la moitié de la longueur de la bissectrice interne issue de :
Ici, l'angle est le plus petit angle, et l'angle moyen.
Bissectrices internes
Les longueurs des bissectrices internes , et (bissectrices issues de respectivement) vérifient :
Rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits
On note le rayon du cercle circonscrit au triangle heptagonal. Son aire vaut alors :
On a aussi.
De façon générale, pour tout entier n,
avec
et
on a
On a aussi
Le rapport entre le rayon du cercle inscrit et celui du cercle circonscrit est la racine positive de l'équation cubique
Le rayon du cercle exinscrit au côté est égal au rayon du cercle d'Euler du triangle heptagonal.
Triangle orthique
Le triangle orthique du triangle heptagonal, dont les sommets sont les pieds des hauteurs, est semblable au triangle heptagonal, dans le . Le triangle heptagonal est le seul triangle obtusangle qui est semblable à son triangle orthique (le triangle équilatéral est le seul triangle acutangle ayant la même propriété, et ce avec le même rapport de proportionnalité).
Le cercle circonscrit au triangle orthique du triangle heptagonal est le cercle d'Euler du triangle heptagonal.
Trigonométrie
Les nombreuses identités trigonométriques associées au triangle heptagonal incluent.
Par différentes méthodes (comme l'utilisation judicieuse de la formule de Moivre), on peut trouver les égalités suivantes :
La racine positive de l'équation cubique.
est égale à
Avec les sinus Les racines de l'équation cubique
sont
Les racines de l'équation cubique
sont
On a aussi :
Pour un entier , on pose . On a alors
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 S(n) 3 S(-n) 3 0 2 2
Avec les cosinus Les cosinus aux angles , , sont les racines de l'équation cubique :
Pour un entier , on pose . On a alors
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C(n) 3 C(-n) 3 -4 24 -88 416 -1824 8256 -36992 166400 -747520 3359744
Avec les tangentes
Les tangentes aux angles , , sont les racines de l'équation cubique :
Les carrés des tangentes aux angles , , sont les racines de l'équation cubique :
Pour un entier , on pose . On a alors
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 T(n) 3 T(-n) 3 5 19
Formules mixtes
On a aussi Victor Hugo Moll, , https://arxiv.org/abs/0709.3755, 2007.
On a aussi
On a aussi.
Identités de type Ramanujan On peut également obtenir des identités similaires à celles découvertes par Srinivasa Ramanujan.
On a aussi
Notes et références
Voir aussi
Formules trigonométriques en kπ/7
Heptagonal