En géométrie différentielle, une application régulière définie d'une variété riemannienne dans une autre est dite harmonique lorsqu'elle est solution d'une certaine équation aux dérivées partielles généralisant l'équation de Laplace. L'équation des applications harmoniques est en général introduite pour résoudre un problème variationnel ; il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange associée à la recherche des points critiques de l'énergie de Dirichlet des applications entre les deux variétés. Par suite, la recherche des applications harmoniques englobe à la fois celle des géodésiques et celle des fonctions numériques qui sont harmoniques sur un ouvert de l'espace euclidien.
On peut concevoir de façon informelle l'énergie de Dirichlet de l'application comme une mesure de l'étirement (au sens de la tension superficielle) qu'il faut imprimer pour amener les points de à leur position dans . Ainsi, étirer une bande de caoutchouc pour la placer sur un galet lisse peut servir d'expérience de pensée pour modéliser l'application des points de la bande au repos vers sa position finale, et son énergie. Une caractéristique de la position finale de la bande, et qui est l'expression du caractère harmonique de l'application, est qu'il s'agit d'une position d'équilibre : au premier ordre, pour toute déformation physique de la bande qu'on peut concevoir, la dérivée de l'énergie est nulle à l'instant initial.
Les initiateurs de la théorie des fonctions harmoniques, James Eells et Joseph H. Sampson, ont montré en 1964 que, dans un contexte géométrique adéquat, une application régulière quelconque, pouvait être déformée par homotopie en une application harmoniqueEells, James, Jr.; Sampson, J.H. Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Math. 86 (1964), 109–160. doi:10.2307/2373037, . Les applications harmoniques l'étude du flot de la chaleur, par elles-mêmes et à titre d'inspiration, font partie des sujets les plus étudiés dans le domaine de l'analyse géométrique. Le travail de Eells et Sampson a notamment servi d'inspiration première à Richard S. Hamilton dans ses recherches sur le flot de Ricci, qui ont conduit à la preuve de la conjecture de Poincaré.
La découverte du phénomène des « bulles » dans les suites de fonctions harmoniques, et l'introduction de méthodes pour les contrôler, par Jonathan Sacks et Karen UhlenbeckSacks, J.; Uhlenbeck, K. The existence of minimal immersions of 2-spheres. Ann. of Math. (2) 113 (1981), no. 1, 1–24.Sur les travaux de Karen Uhlenbeck, CNRS, a revêtu une influence particulière, car des situations analogues ont été reconnues dans de nombreux autres contextes géométriques. Ainsi, la découverte concomitante par Uhlenbeck d'un phénomène de bulles pour les champs de Yang–Mills a joué un rôle important dans les travaux de Simon Donaldson sur les espaces de dimension 4Uhlenbeck, Karen. Harmonic maps into Lie groups: classical solutions of the chiral model. J. Differential Geom. 30 (1989), no. 1, 1–50., et de même la découverte ultérieure par Mikhail Gromov de bulles pour les courbes pseudoholomorphes s'est révélé riche de conséquences en géométrie symplectique et en cohomologie quantique. De même, les techniques employées par Richard Schoen et Uhlenbeck pour étudier la régularité des applications harmoniques ont servi d'inspiration au développement de méthodes d'analyse nouvelle en analyse géométriqueSchoen, Richard; Uhlenbeck, Karen. A regularity theory for harmonic maps. J. Differential Geom. 17 (1982), no. 2, 307–335.Schoen, Richard; Uhlenbeck, Karen. Boundary regularity and the Dirichlet problem for harmonic maps. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 2, 253–268..
Définition
L'équation de Laplace de l'espace euclidien ne se généralise pas simplement dans le cadre des variétés. On sait que la notion même de dérivée seconde n'a pas de sens en général, mais qu'en munissant la variété d'une structure riemannienne, il est possible de mener du calcul différentiel à tout ordre. Pour autant, même pour des objets simples définis sur une seule variété, comme les formes différentielles, il peut exister plusieurs notions concurrentes d'opérateur laplacien.
Quand on dispose de deux variétés riemanniennes et d'une application de classe au moins C2, on va voir qu'il existe un champ de tension qui peut être considéré comme une généralisation du laplacien. Les applications harmoniques seront celles pour lesquelles le champ de tension s'annule. On peut commencer par envisager le cas où la variété M est compacte et orientée, car le champ de tension peut être obtenu à partir de considérations globales en termes d'énergie.
Le cas compact orienté
On peut commencer par introduire l'expression générale de la première forme fondamentale (utilisée pour l'étude des surfaces) : on ramène le tenseur métrique de sur par image réciproque , ce qui donne un tenseur sur . On suppose M compacte orientée, et on définit l'énergie de en prenant l'intégrale de la trace de cette forme fondamentale pour la mesure canonique de , p. 675
En détaillant les choses dans une carte locale, l'intégrande est une quantité appelée densité d'énergie qui peut aussi s'exprimer sous les formes suivantes
expression dans laquelle on retrouve bien le carré d'une norme, mais sur un certain fibré vectoriel associé aux deux variétés. Ainsi l'expression de l'énergie devient
Les points critiques de cette fonctionnelle énergie sont appelées applications harmoniques. En utilisant la démarche du calcul des variations, on peut étudier une famille d'applications de dans et donner les conditions sur le champ de vecteurs ψ représentant la déformation selon t pour que présente un extremum en t=0. Ces conditions s'interprètent comme des relations d'orthogonalité à tout champ de déformation qui ont la forme suivante
L'expression qui apparaît représente la contrainte à laquelle on aboutit sur : c'est l'équation d'Euler-Lagrange . Cette quantité peut s'exprimer sous forme intrinsèque
(avec la connexion de Levi-Civita), ou encore en coordonnées locales (et avec les symboles de Christoffel pour chacune des deux métriques et l'emploi de la convention de sommation d'Einstein)
On aboutit ainsi à une formulation équivalente du caractère harmonique, qui a l'avantage de faire intervenir non plus une intégrale sur toute la variété, mais des considérations purement locales : c'est sur ce champ de tension que va s'appuyer la définition générale.
Cas général
Dans le cas non-compact, il n'est plus possible de donner une définition globale de l'énergie. Mais la notion de champ de tension reste bien définie, et les arguments de calcul variationnel peuvent être repris en se limitant à des perturbations Ψ à support local. Dans ce cas, on peut reprendre une part du calcul précédent
Et cela justifie qu'on introduise les applications harmoniques comme celles pour lesquelles le champ de tension est nul. On peut interpréter la quantité comme une hessienne généralisée à une fonction qui n'est pas à valeurs numériques, et le champ de tension lui-même comme un laplacien généralisé. Même si l'expression en coordonnées locales montre qu'on n'est plus dans le domaine des problèmes linéaires, on s'attend pourtant à retrouver un certain nombre de traits des fonctions harmoniques numériques.
Un premier résultat en ce sens est celui de la régularité : l'aspect local de l'équation d'annulation du champ de tension montre qu'il s'agit d'une équation elliptique (non linéaire). Les théorèmes de régularité usuels permettent donc d'affirmer qu'une application harmonique de classe C2 est automatiquement C∞.
Harmonicité au sens faible
Établir des résultats avancés sur les applications harmoniques demande d'employer au moins à titre d'intermédiaires des espaces fonctionnels soigneusement choisis pour obtenir les propriétés de convergence désirées. C'est pourquoi on utilise couramment une notion de fonction harmonique au sens faible, en considérant l'énergie de Dirichlet et ses points critiques sur l'espace de Sobolev . On peut cependant retomber sur la notion usuelle : si une fonction est continue et faiblement harmonique, elle est C∞ et harmonique au sens fort.
Exemples
Cas particuliers
La notion d'application harmonique englobe plusieurs situations classiques. Tout d'abord les fonctions numériques harmoniques sur un ouvert de l'espace euclidien, ou plus généralement, celles qui annulent l'opérateur de Laplace-Beltrami sont exactement les applications harmoniques à valeurs dans la droite réelle. Cela inclut les fonctions constantes.
Si au contraire c'est la variété qui est de dimension 1, et une variété riemannienne quelconque on retrouve dans la condition d'harmonicité l'équation des géodésiques. Celle-ci est d'ailleurs fréquemment établie par le même procédé, en recherchant les extrema de l'énergie de Dirichlet. Plus généralement, une application totalement géodésique, c'est-à-dire telle que l'image de toute géodésique est une géodésique, est harmonique. L'exemple le plus simple est l'application identité.
Si les variétés sont munies d'une structure de variété kählérienne, toute application holomorphe ou anti-holomorphe (c'est-à-dire satisfaisant la relation ou pour les opérateurs de Dolbeault) est harmonique. La réciproque est fausse en général, mais peut être vraie sous certaines hypothèses de courbure (voir ci-dessous). De plus une simple structure hermitienne ne suffit pas pour établir que les applications holomorphes sont harmoniques, la condition d'intégrabilité de Kähler est utiliséeLuc Lemaire, Existence des applications harmoniques et courbure des variétés, in actes du Séminaire Bourbaki, 1981, p. 178.
Cas des immersions
Dans l'étude des sous-variétés riemanniennes, la seconde forme fondamentale joue un rôle important. On peut généraliser cette notion pour une immersion quelconque, mais il y a a priori deux tenseurs métriques à prendre en compte, sur la variété source et le but. En se plaçant sur un domaine d'injectivité de , on peut transporter les champs de vecteurs de par image directe (et les prolonger si besoin). On montre alors que l'expression suivante a un sens, et donne, en chaque point, une forme bilinéaire sur l'espace tangent à à valeurs dans l'espace tangent à
Un calcul en carte locale permet de montrer qu'on retrouve dans cette expression le hessien généralisé , et le champ de tension n'est autre que la trace de cette seconde forme fondamentale.
Les applications totalement géodésiques peuvent être vues de façon naturelle comme celles pour lesquelles la seconde forme fondamentale est constamment nulle. On retrouve bien qu'elles sont harmoniques.
Un autre contexte où la seconde forme fondamentale se simplifie est celui des immersions isométriques de dans (ce qui englobe le cas de l'injection canonique pour une sous-variété riemanniennes de ). Une telle application est harmonique si et seulement si est une variété minimale dans ).
Flot de la chaleur
Définition Le flot de la chaleur a servi de prototype à l'introduction et à l'étude de nombreux flots géométriques, dont le plus connu est le flot de Ricci. Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles, non linéaire, dans laquelle on fait évoluer l'application . Cette évolution est suivie par un paramètre et dictée par une équation inspirée de l'équation de diffusion, dans laquelle le champ de tension joue le rôle du laplacien
En se plaçant dans le cas de variétés compactes pour ne pas rencontrer de difficulté de définition, une des premières propriétés du flot est que tant qu'il est défini, il fait diminuer l'énergie : , et même strictement sauf aux valeurs de pour lesquelles est une fonction harmonique.