En mathématiques et plus particulièrement en théorie des probabilités, la transformée de Cramér (du mathématicien Harald Cramér) correspond à la transformée de Legendre-Fenchel de la fonction génératrice des cumulants d'une loi de probabilité.
Cette notion intervient dans l'étude de grandes déviations. Plus précisément, la transformée de Cramér constitue la fonction de taux dans le théorème de Cramér.
Définitions
Définition pour une loi sur les réels Soit une variable aléatoire réelle de loi . Notons la fonction génératrice des cumulants de , c'est-à-dire :
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La transformée de Cramér de , notée , est la transformée de Legendre de , c'est-à-dire :
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Définition pour un espace euclidien On peut généraliser la définition dans le cas où est à valeurs dans . Dans ce cas la fonction génératrice des cumulants devient :
où désigne le produit scalaire canonique sur . La transformée de Cramér de est alors la transformée de Legendre-Fenchel de , c'est-à-dire :
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Définition pour un espace localement convexe séparé On peut pousser encore la généralisation dans le cas où est à valeurs dans un espace localement convexe séparé muni de sa tribu borélienne. Dans ce cas la fonction génératrice des cumulants devient :
où désigne le dual topologique de et . La transformée de Cramér de est alors la transformée de Legendre-Fenchel de , c'est-à-dire :
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Propriétés
La transformée de Cramér est toujours positive (elle vaut éventuellement plus l'infini) et semi-continue inférieurement. C'est donc une fonction de taux. La transformée de Cramér est toujours convexe. Si avec constante alors et . Si avec constante alors et .
Exemples +LoiParamètresFonction génératrice des cumulants Transformée de Cramér Loi de BernoulliLoi de RademacherLoi de PoissonLoi exponentielleLoi normale
Bibliographie
Voir aussi
Principe de grandes déviations Théorème de Cramér Transformée de Legendre-Fenchel Fonction génératrice des cumulants
Catégorie:Théorie des probabilités