Les mathématiques de la relativité générale se réfèrent à différentes structures et techniques mathématiques utilisées par la théorie de la relativité générale d'Albert Einstein. Les principaux outils utilisés dans cette théorie géométrique de la gravitation sont les champs tensoriels définis sur une variété pseudo-riemannienne représentant l'espace-temps.
Pourquoi les tenseurs ?
Le principe de relativité généralisé (ou principe de covariance généralisée, ou encore covariance sous la transformation) affirme que les lois de la physique prennent les mêmes formes mathématiques dans tous les référentiels et a été l'un des principes centraux dans le développement de la relativité générale. Le terme de « covariance généralisée » a été utilisé lors de la formulation initiale de la relativité générale, mais est maintenant connu sous le nom de covariance par difféomorphisme. Bien que la covariance par difféomorphisme ne soit pas l'élément central de la relativité générale et qu'une controverse soit toujours présente concernant son statut dans la théorie, la propriété d'invariance des lois de la Physique, associée au fait que la relativité générale soit une théorie essentiellement géométrique (dans le cadre de la géométrie non euclidienne), suggère que soient utilisés les tenseurs dans sa formulation. Ceci sera discuté plus bas.
L'espace-temps comme une variété
La plupart des approches modernes de la relativité générale se basent sur le concept de variété. Plus précisément, la construction physique de base représentant la gravitation – un espace-temps courbe – est modélisée par une variété pseudo-riemanienne lorentzienne à quatre dimensions, continue, connexe et constituant un espace séparé ou espace de Hausdorff. Les autres grandeurs physiques sont représentées par différents tenseurs (voir plus loin).
L'objectif dans le choix d'une variété comme structure mathématique de base est de pouvoir refléter au mieux les propriétés physiques. Par exemple, dans la théorie des variétés, chaque point est contenu dans un voisinage muni d'un système de coordonnées appelé carte, et peut être pensé comme une représentation locale de l'espace-temps autour de l'observateur (représenté par le point ). La carte munie de son système de coordonnées permet de décrire localement l'espace autour du point de la variété. Le principe de covariance de Lorentz local, qui affirme que les lois de la relativité restreinte s'appliquent localement en chaque point de l'espace-temps, fournit une raison supplémentaire pour le choix de la variété pour représenter l'espace-temps : on peut préciser ce point en affirmant que localement autour d'un point d'une variété, la région « ressemble » à un espace de Minkowski (espace-temps plat).
L'idée d'une carte munie d'un système de coordonnées comme un observateur local pouvant effectuer des mesures à proximité a aussi un sens du point de vue physique, car cela correspond à la manière de fonctionner pour les mesures expérimentales – effectuées localement. Pour des problèmes cosmologiques, une carte peut être un voisinage relativement grand. En revanche, la description complète de l'espace-temps entier nécessite en général plusieurs cartes, regroupées au sein d'un atlas.
Structure globale et structure locale
Une distinction importante en physique consiste à considérer la différence entre les structures locale et globale. Les mesures en physique sont effectuées dans une région de l'espace-temps relativement petite. On comprend alors pourquoi étudier la structure locale de l'espace-temps en relativité générale, alors que déterminer la topologie de l'espace-temps a du sens, spécialement en cosmologie afin de déterminer la structure globale de l'espace-temps.
Tenseurs en relativité générale
La description de phénomènes physiques ne doit pas dépendre de qui fait les mesures – un système de coordonnées n'est pas meilleur qu'un autre. L'une des conséquences profondes de la théorie de la relativité a été la suppression de référentiels préférentiels. La relativité restreinte a mis fin aux référentiels inertiels pour la description des phénomènes physiques, alors que la relativité générale a éliminé tout référentiel privilégié pour une telle description.
Tout observateur peut faire des mesures et les quantités numériques obtenues dépendent seulement du système de coordonnées utilisé. Ceci suggère de formuler la relativité en utilisant des structures invariantes qui sont indépendantes du système de coordonnées (représenté par l'observateur) utilisé, et qui aient une existence propre. L'outil mathématique le plus adapté pour cela semblait être le tenseur. Pour exemple, lors de la mesure des champs électriques et magnétiques produits par les charges accélérées, les valeurs des champs dépendront du système de coordonnées utilisé, mais les champs sont considérés comme ayant une existence indépendante, représentée par le tenseur de champ électromagnétique, répondant à la formulation tensorielle des équations de Maxwell.
Mathématiquement, les tenseurs sont des opérateurs linéaires généralisés. Ils sont souvent considérés comme une représentation de fonctions multilinéaires. Ainsi les idées de l'algèbre linéaire sont utilisées pour étudier les tenseurs.
À chaque point d'une variété peuvent être construits les espaces tangent et à la variété en . Les vecteurs (dénommés parfois vecteurs contravariants) sont définis comme éléments de l'espace tangent et les covecteurs (dénommés parfois vecteurs covariants, mais plus souvent vecteurs duaux ou 1-forme) comme éléments de l'espace cotangent.
Ces deux espaces vectoriels peuvent être utilisés pour construire des tenseurs de type en . Ces tenseurs sont des graphes multilinéaires de valeur réelle agissant sur l'espace produit cartésien de copies de l'espace cotangent à en d'une part avec copies de l'espace tangent à en d'autre part. L'ensemble de tous ces graphes multilinéaires forme un espace vectoriel, appelé l'espace produit tensoriel de type en et noté par . Si l'espace tangent est de dimension , il peut être démontré que .
Dans la littérature sur la relativité générale, il est conventionnel d'utiliser la convention des composants pour les tenseurs. Un tenseur de type peut être écrit :
où est une base pour le -ème espace tangent et une base pour le -ème espace cotangent.
Du fait que l'espace-temps est supposé de dimension 4, chaque index d'un tenseur ne peut prendre qu'une des 4 valeurs possibles. De ce fait, le nombre total d'éléments d'un tenseur vaut , où est la somme du nombre des indices covariants et contravariants du tenseur (ce nombre est appelé rang du tenseur).
Tenseurs symétriques et antisymétriques Certaines quantités physiques peuvent être représentées par des tenseurs dont tous les composants ne sont pas indépendants. On peut notamment citer les exemples des tenseurs symétriques et antisymétriques. Les tenseurs antisymétriques sont couramment utilisés pour représenter des rotations (par exemple, le tenseur de vorticité).
Bien qu'un tenseur générique de rang et de dimension 4 ait composants, des contraintes sur ce tenseur telles que la symétrie ou l'antisymétrie permettent de réduire le nombre de composants distincts. Par exemple, un tenseur de rang 2 symétrique vérifie et possède 10 composants indépendants, alors qu'un tenseur de rang 2 antisymétrique vérifie et possède 6 composants indépendants. Pour des rangs supérieurs à 2, les paires d'index symétriques et antisymétriques doivent être explicitement identifiés.
Les tenseurs antisymétriques de rang 2 jouent des rôles importants en théorie de la relativité. L'ensemble de tous ces tenseurs – souvent appelés bivecteurs – forment un espace vectoriel de dimension 6, parfois appelé espace bivectoriel.
Le tenseur métrique
Le tenseur métrique est un objet central en relativité générale. Il décrit la géométrie locale de l'espace-temps (en tant que résultat de la résolution de l'équation d'Einstein). En utilisant l'approximation des champs faibles, la métrique peut aussi être considérée comme la représentation d'un potentiel gravitationnel.
Champs de tenseurs en relativité générale
Les champs de tenseurs sur une variété sont des applications qui associent un tenseur à chaque point de la variété. Cette notion peut être rendue plus précise en introduisant l'idée d'espace fibré, qui dans le contexte présent est destiné à rassembler tous les tenseurs de tous les points de la variété, en formant ainsi un objet appelé fibré tensoriel. Un champ de tenseurs est alors défini comme une application reliant la variété au fibré tensoriel, associant à chaque point un tenseur en .
La notion de champ de tenseurs est d'une importance majeure en Relativité Générale. Par exemple, la géométrie autour d'une étoile est décrite par un tenseur métrique en chaque point, nécessitant que la valeur de la métrique soit donnée en chaque point de l'espace-temps pour déterminer la trajectoire des particules. Autre exemple : les valeurs des champs magnétique et électrique (donnés par le tenseur du champ électromagnétique) et la métrique en chaque point autour d'un trou noir chargé déterminent le mouvement d'une particule chargée soumise à ce champ.
Les champs vectoriels sont des champs tensoriels contravariant de rang 1. La quadrivitesse, , qui est la distance parcourue dans l'espace-temps par unité de temps propre, la quadri-accélération et le 4-courant , décrivant les densités de charge et de courant, sont des exemples de champs vectoriels importants en relativité. D'autres champs de tenseurs utilisés en relativité sont :
Le tenseur énergie-impulsion , tenseur symétrique de rang 2. Le tenseur de champ électromagnétique , tenseur antisymétrique de rang 2.
Bien que le mot « tenseur » se réfère à un objet en un point, il est courant de parler de champs de tenseurs de l'espace-temps (ou d'une de ses régions) sous la dénomination de « tenseurs ».
En chaque point de l'espace-temps où une métrique est définie, cette dernière peut être réduite à la forme de Minkowski (par la loi d'inertie de Sylvester).
Dérivées de tenseurs Avant l'arrivée de la relativité générale, les modifications dans les processus physiques étaient généralement décrites par des dérivées partielles, permettant par exemple de modéliser les champs électromagnétiques (voir Équations de Maxwell). Même en relativité restreinte, les dérivées partielles sont suffisantes pour décrire de telles modifications. Cependant, en relativité générale, il est apparu que les dérivées s'appliquant aux tenseurs doivent être utilisées.
Le problème pour définir les dérivées sur des variétés qui ne sont pas « plates » est qu'il n'existe pas de manière naturelle pour comparer des vecteurs en des points différents. Une structure supplémentaire sur les variétés est nécessaire pour définir les dérivées. Les paragraphes suivants décrivent deux dérivées importantes qui peuvent être définies en imposant une structure supplémentaire sur les variétés dans les deux cas.
Connexions affines Bien que comparer des vecteurs en différents points ne soit généralement pas un processus bien défini, une connexion affine est une règle qui décrit comment déplacer de manière légitime un vecteur le long d'une courbe de la variété sans changer sa direction (en le gardant parallèle à lui-même), d'où la terminologie de transport parallèle.
La connexion affine est une application linéaire faisant correspondre à deux champs de vecteurs (et ) un troisième champ. Si ce champ s'annule, est dit être transporté parallèlement le long de – ceci exprime que le vecteur pointe toujours dans la même direction le long d'une courbe intégrale du champ . Cette connexion affine ainsi permet de définir la notion de transport parallèle. La torsion d'une connexion est un champ de vecteurs continu. Si la torsion s'annule, la connexion est dite sans torsion ou plus communément symétrique.