En géométrie, un secteur sphérique est une portion de sphère - plus exactement de boule sphérique - délimitée par un demi-cône de révolution dont le sommet coïncide avec le centre de la sphère.
C'est un solide de révolution dont la frontière est constituée d'une portion de cône et d'une calotte sphérique.
Plus précisément, le demi-cône découpe dans la boule deux solides, l'un, convexe, dont le volume est inférieur à une demi-boule est appelé secteur mineur, l'autre est appelé secteur majeur.. C'est le secteur mineur que l'on appelle communément secteur sphérique.
Ne pas confondre: les vannes dites à secteur sphérique en robinetterie sont en réalité composées à l'aide d'une portion de sphère creuse proche d'un fuseau sphériqueLa notion correspond à la notion anglaise de ball sector valve dont on peut voir des visions éclatées (voir, par exemple, Ball Sector Valve, Högfors, p. 2, élément 3).
Volume vignette|400x400px|Secteur sphérique (en bleu) en perspective et en vue de face. Si on note le rayon de la sphère et la hauteur de la calotte sphérique, le volume du secteur sphérique est , C32-33: Ce volume peut également s'exprimer à l'aide de l'angle au sommet du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices) :
Enfin, ce volume est entièrement déterminé par le rayon de la sphère et l'aire de la calotte sphérique par la formule:
Il est lié à l'angle solide du cône par la formule :
Le théorème de Guldin permet d'obtenir ce volume connaissant l'aire et le centre de gravite du secteur circulaire engendrant par rotation le secteur sphérique. Si est la distance entre et l'axe de rotation on a :
avec
Ce qui donne :
Aire L'aire de la surface enveloppant le secteur sphérique est constituée de la somme de l'aire de la surface conique et de l'aire de la calotte sphérique:
où est le rayon du cercle faisant la jonction entre les deux surfaces.
Centre de gravité Comme dans tout solide de révolution, le centre de gravité d'un secteur sphérique est situé sur l'axe de révolution.
Comme pour tout solide formé des segments joignant le centre de la sphère à une portion de celle-ci, Il est situé est aux trois quarts du segment joignant le centre de la sphère au centre de gravité de la calotte sphérique, lequel se trouve au milieu de la flèche. Il est donc à une distance du centre donnée par la formule:
En particulier, le centre de gravité de la demi-boule () vérifie
Calcul intégral En coordonnées sphériques, le volume peut être calculé en intégrant l'élément de volume
avec variant de 0 à variant de 0 à variant de 0 à où est l'angle au sommet du cône (c'est-à-dire l'angle entre l'axe de rotation du cône et une de ses génératrices)
L'intégrale a pu être décomposée en un produit de trois intégrales car l'intégrande est composé d'un produit de trois termes contenant chacun une seule variable.
Notes et références
Voir aussi
Article connexe Sphère Zone sphérique Calotte sphérique Segment sphérique
Liens externes
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