vignette|La fonction zêta de Riemann ζ(s) dans un repère complexe avec Re(s) en abscisse et Im(s) en ordonné (avec s nombre complexe). En mathématiques, la fonction zêta de Riemann est une fonction en analyse complexe, dont l'importance est notable en théorie des nombres. Elle est nommée d'après le mathématicien Bernhard Riemann et on la note souvent . Pour un réel supérieur à 1, elle est définie par

Elle peut également servir pour des séries numériques convergentes, comme celle derrière le problème de Bâle . Plusieurs formules explicites ou numériques efficaces existent pour le calcul de pour des valeurs entières, qui ont toutes des valeurs réelles, dont l'exemple cité. Cette page liste ces formules avec des tables de valeurs, ainsi que des séries tirées de la dérivée de ou de compositions avec d'autres séries.

La même équation en reste vraie si est un nombre complexe dont la partie réelle est supérieure à 1, assurant la convergence. Ainsi, elle peut être prolongée au plan complexe par prolongement analytique, sauf au pole simple en . La dérivée complexe existe dans cette région plus large, faisant de la fonction zêta une fonction méromorphe. Cependant, l'expression de définition n'est plus valable pour toutes ces valeurs de , où la sommation diverge. Par exemple, la fonction zêta existe en (et y a donc une valeur finie), mais la série correspondante est , dont les sommes partielles divergent grossièrement.

Les valeurs de la fonction zêta listées ici incluent les valeurs de la fonction aux nombres entiers négatifs pairs (, ), pour lesquels qui forment les zéros trivaux de la fonction. L'article consacré à la fonction zêta détaille l'importance des zéros non triviaux pour la théorie des nombres.

La fonction zêta de Riemann entre 0 et 1 En zéro, on aEn 1, il y a un pôle, n'est pas fini ; la limite vaut à gauche et à droite :Comme il y a un pôle du premier ordre, il y a un résidu etPour , de même que la somme à laquelle on retranche son équivalent tend vers une limite finie (la constante d'Euler), la somme à laquelle on retranche son équivalent tend vers une limite finie qui est égale à :Par exemple, voir la .

On a aussi

Entiers positifs

Entiers positifs pairs Les valeurs exactes de la fonction zêta aux entiers positifs pairs peuvent être exprimées à partir des nombres de Bernoulli :

Le calcul de est connu comme le problème de Bâle. La valeur de est liée à la loi de Stefan-Boltzmann et la loi de Wien en physique. Les premières valeurs sont :

On peut en déduire que .

+ Valeurs choisies aux entiers pairs Valeur exacte Approximation décimale Source ... ... ... ... ... ... ...

La relation entre la fonction zêta aux entiers pairs positifs et les nombres de Bernoulli s'écrit

avec et sont entiers pour tout pair. On obtient ainsi les suites d'entiers et , dans l'OEIS. On donne certaines valeurs :

+ Coefficients 1 6 1 2 90 1 3 945 1 4 9450 1 5 93555 1 6 638512875 691 7 18243225 2 8 325641566250 3617 9 38979295480125 43867 10 1531329465290625 174611 11 13447856940643125 155366 12 201919571963756521875 236364091 13 11094481976030578125 1315862 14 564653660170076273671875 6785560294 15 5660878804669082674070015625 6892673020804 16 62490220571022341207266406250 7709321041217 17 12130454581433748587292890625 151628697551

Si on note le coefficient devant comme vu avant,

alors on peut poser la relation de récurrence,

Cette récurrence peut être déduite des nombres de Bernoulli.

Il y a une autre relation de récurrence :

qui peut être prouvée en utilisant la dérivée de la fonction cotangente

Les valeurs de la fonction zêta aux entiers pairs positifs ont pour fonction génératrice :

Puisque

la formule permet de déduire

Entiers positifs impairs La somme de la série harmonique est infinie.

La valeur est aussi connue comme la constante d'Apéry et apparait dans le rapport gyromagnétique de l'électron. La valeur apparait dans la loi de Planck. On donne les premières valeurs : + Premières valeurs aux entiers impairs Valeur exacte Approximation décimale Source ... ... ... ... ... ... ...

Il a été prouvé que est irrationnel (théorème d'Apéry) et qu'une infinité de nombres de la forme , sont irrationnels. Il existe des résultats sur l'irrationalité de valeurs de la fonction zêta de Riemann sur les éléments de certains sous-ensembles d'entiers impairs positifs ; par exemple au moins une des valeurs parmi , ou est irrationnelle.

Les valeurs de zêta aux entiers impairs positifs apparaissent en physique, plus spécifiquement dans les fonctions de corrélation des chaînes de spin XX- antiferromagnétiques..

La plupart des identités suivantes viennent de Simon Plouffe. Elles sont remarquables pour leur convergence rapide (au moins trois chiffres par itération) et donc utiles dans les calculs de haute précision.

Calcul de Plouffe donne les identités suivantes

Calcul de On peut écrire la somme sous forme d'une série de Lambert.

Calcul de En définissant les quantités

une série de relations peut être donnée sous la forme

avec , , et sont des suites d'entiers positifs. Plouffe donne une table de valeurs : + coefficients 3 180 7 360 0 5 1470 5 3024 84 7 56700 19 113400 0 9 18523890 625 37122624 74844 11 425675250 1453 851350500 0 13 257432175 89 514926720 62370 15 390769879500 13687 781539759000 0 17 1904417007743250 6758333 3808863131673600 29116187100 19 21438612514068750 7708537 42877225028137500 0 21 1881063815762259253125 68529640373 3762129424572110592000 1793047592085750

Ces constances entières peuvent être exprimées à partir des nombres de Bernoulli, comme donné dans (Vepstas, 2006).

Un algorithme facile pour le calcul de la fonction zêta de Riemann en tout entier est donné par E. A. Karatsuba..

Entiers négatifs En général, pour tout entier négatif, on a

Les zéros "triviaux" sont aux entiers pairs négatifs (par sommation de Ramanujan) :

Les premières valeurs aux entiers négatifs

Cependant, comme les nombres de Bernoulli, ils restent petits à mesure qu'on va plus loin dans les entiers négatifs. On pourra regarder l'article 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯.

Ainsi peut être utilisé comme définition pour tous les nombres de Bernoulli (dont ceux aux indices 0 et 1).

Dérivées La dérivée de la fonction zêta aux entiers pairs négatifs donne :

Les premières valeurs sont :

On a aussi :

avec est la constante de Glaisher–Kinkelin.

En partant de la dérivée logarithmique de l'équation fonctionnelle,

+ Dérivées choisies Valeur Approximation décimale Source ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Séries impliquant Les sommes suivantes peuvent être dérivées de la fonction génératrice :

où est la fonction digamma.

Ainsi, on a :

Il existe des séries utilisant la constante d'Euler-Mascheroni (notée ) :

et utilisant la valeur principale

qui n'impacte que la valeur en 1, ces formules peuvent être écrites comme :

et montrent qu'elles dépendent de la valeur principale de

Zéros non triviaux

Les zéros de la fonction zêta de Riemann sauf les entiers pairs négatifs sont appelés "zéros non triviaux". Il reste un problème complexe de la théorie des nombres. Voir le site d'Andrew Odlyzko pour les tables et les bibliographies.

Rapports Si évaluer des valeurs particulières de la fonction zêta peut être difficile, on peut déterminer les valeurs de certains rapports entre deux valeurs données en utilisant astucieusement les valeurs particulières de la fonction Gamma d'Euler et sa formule de réflexion :

On obtient pour deux valeurs demi-entières :

D'autres exemples suivent pour des évaluations plus poussées et des relations de la fonction Gamma. Par exemple, une conséquence de la relation

permet d'obtenir

où désigne la moyenne arithmético-géométrique. De façon similaire, il est possible d'obtenir des relations avec des radicaux, telles que

la relation analogue impliquant zeta est

Références

Sources

. PDF.

PDF PDF en russe PS en russe Travaux sur les zéros non triviaux par Andrew Odlyzko : Bibliography Tables

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