L’axiome d'Euclide, dit également cinquième postulat d’Euclide, est dû au savant grec Euclide (). C'est un axiome relatif à la géométrie du plan.

La nécessité de cet axiome a constitué la question la plus lancinante de toute l'histoire de la géométrie, et il a fallu plus de deux millénaires de débats ininterrompus pour que la communauté scientifique reconnaisse l'impossibilité de le réduire au statut de simple théorème.

Énoncé initial vignette|Illustration du postulat d'Euclide : La droite S détermine les angles internes α et β avec les droites g et h. La somme de ces angles étant inférieure à deux angles droits, g et h se coupent « du côté de ces deux angles », c'est-à-dire à gauche de S sur la figure. L'énoncé original est exprimé dans le livre I des Éléments d'Euclide sous la forme suivanteLa traduction, qui est celle de Vitrac , peut par exemple être vue ici : :

Ce qu'Euclide appelle « droite » est plutôt ce que nous appellerions aujourd'hui un segment de droite, mais prolongeable, et ce indéfiniment. Voir la légende de la figure ci-contre pour une reformulation en langage moderne.

Historique : théorème ou axiome Euclide Cette propriété est présentée dans Les Éléments d'Euclide comme une demande c'est-à-dire un postulat, et c'est le d'entre euxEuclide répartit les principes non démontrés, que l'on appellerait aujourd'hui axiomes, en deux classes, demandes ou postulats, et notions communes ou axiomes (en un sens qui est donc voisin mais un peu différent du sens actuel). Ce sont sur ces postulats et notions communes que sont censées reposer ultimement les propositions de ses Éléments, par l'enchaînement des démonstrations. Plusieurs critères ont été donnés dès l'Antiquité pour cette répartition, auxquels celle d'Euclide ne répond pas forcément. Certaines éditions imprimées anciennes rangeaient le 5 postulat d'Euclide, celui des parallèles, parmi les notions communes (ou axiomes), en se fondant, directement ou indirectement, sur le seul manuscrit ancien à présenter cette particularité, daté du , et qui s'est avéré depuis avoir été modifié après avoir été réalisé pour satisfaire l'un de ses critères de répartition, critère attribué à Géminus de Rhodes (). David Hilbert, à la toute fin du , ne parle plus que d'axiome dans ses Fondements de la géométrie. La distinction postulat/axiome n'est plus considérée comme pertinente en mathématiques au moins depuis cette époque..

Euclide établit les 28 premières propositions de ses Éléments sans recourir à son fameux postulat, . Il démontre également sans le postulat des parallèles la proposition I.31 qui donne l'existence d'une droite parallèle à une droite D passant par un point extérieur à DVitrac dans ..

Essais de démonstrations et propositions équivalentes De fait, pendant plus de deux millénaires, bien des géomètres ont pensé que cette propriété devait découler logiquement des autres postulats. Ils ont donc tenté de prouver l'axiome d'Euclide. Parmi les plus illustres de ces savants on citera : Archimède. () Posidonios () Claude Ptolémée () Proclus () Thābit ibn Qurra.. () Al-Abbâs ibn Saïd al-Jaouharî () Alhazen. (/) Omar Khayyam. () Nasir al-Din al-Tusi. () Vitellion. () Gersonide () Giovanni Alfonso Borelli () Vitale Giordano () John Wallis () Giovanni Girolamo Saccheri () Jean-Henri Lambert () Adrien-Marie Legendre (/)

Comme la démonstration de l'axiome requerrait de le ramener à des évidences, d'autres énoncés plus ou moins équivalents au postulat d'Euclide ont résulté des meilleures de ces tentatives de démonstration. Les variantes connues sont assez nombreuses. Les plus célèbres sont probablement : « Par un point donné, on peut mener une et une seule parallèle à une droite donnée », énoncé connu sous le nom d'axiome de Playfair, et souvent appelé aussi axiome des parallèles. Dans le cadre des Éléments d'Euclide, où l'existence d'une parallèle est démontrable sans le postulat, l'unicité suffit, et ce sont d'ailleurs des énoncés donnant seulement l'unicité que donne Playfair. Proclus avait signalé une telle propriété dans ses Commentaires sur le premier livre des Éléments. « Il existe des quadrilatères à quatre angles droits. » « Il existe des triangles dont la somme des angles est égale à deux droits. » (Legendre) « Il existe des triangles semblables de toutes les tailles. » (John Wallis) « Par trois points non alignés d'un plan, on peut toujours mener un cercle et un seul. » (Farkas Bolyai) …

Ces propositions sont équivalentes au postulat au sens où elles sont équivalentes relativement aux autres postulats (et axiomes).

L'axiome suivant n'est pas équivalent au postulat d'Euclide : « Si deux droites non parallèles sont prolongées à l'infini, elles s'écartent indéfiniment. » .

Géométries non euclidiennes

Au , avec les recherches de Lobatchevski, Bolyai, Gauss, Riemann, Beltrami, Klein et Poincaré, on a pu trouver d'autres géométries possibles et non contradictoires en conservant certaines des propriétés de la géométrie d'Euclide, mais pas le cinquième postulat. Ces nouvelles géométries sont appelées non euclidiennes. L'histoire de cette découverte est un épisode fascinant de l'histoire de la géométrie ; elle est retracée dans ses grandes lignes à l'article « Géométrie non euclidienne ».

On trouve deux manières différentes de pratiquer la géométrie sans l'axiome des parallèles.

Dans la première, la somme des angles d'un triangle est supérieure à 180° : on l'appelle géométrie elliptique (dont la géométrie sphérique est un modèle) ; dans l'autre, elle est inférieure à 180° : c'est la géométrie hyperbolique ou géométrie de Lobatchevski. Par exemple, en modifiant l'axiome des parallèles ainsi : « Par un point extérieur à une droite, on peut faire passer une infinité de droites parallèles à cette droite », on obtient la géométrie hyperbolique.

Dans les géométries non euclidiennes, la plupart des résultats métriques, c’est-à-dire ceux concernant les distances et les angles (par exemple le théorème de Pythagore) ne sont plus vrais.

Résistances Le postulat d'Euclide est lié à une certaine perception immédiate de l'espace. Y renoncer n'est probablement pas facile. Dans Les Fous littérairesA. Blavier, Les Fous littéraires, paru en 1982, réédité en 2000 Paris, Éditions des Cendres , ., André Blavier cite 13 ouvrages parus entre 1862 et 1932 écrits par ceux que l'auteur appelle du terme plus général de « quadrateurs » qui pensent démontrer le postulat d'Euclide.

Notes

Voir aussi Bibliographie

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Articles connexes Axiomes de Hilbert : comparaison entre les axiomes d'Euclide et les axiomes de Hilbert

Géométrie absolue

Liens externes Jacques Verdier, Les démonstrations de l'axiome d'Euclide, la théorie des parallèles, Besançon, 2007

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