Dans le théorème de Bayes, la probabilité a priori (ou Les mots et , d'origine anglaise, signifient et et sont utilisés pour décrire des concepts de l'inférence bayésienne, ou pour formuler de nouveaux (voir par exemple les œuvres de Judea Pearl ou Introduction to Bayesian Statitics de Karl-Rudolf Koch). Ils sont aussi utilisés en français comme synonymes, par exemple par Sophie Gourgou, Xavier Paoletti, Simone Mathoulin-Pélissier dans Méthodes Biostatistiques appliquées à la recherche clinique en cancérologie ou Bas Van Fraassen, Catherine Chevalley dans Lois et symétrie, .) désigne une probabilité se fondant sur des données ou connaissances antérieures à une observation. Elle s'oppose à la probabilité a posteriori (ou ) correspondante qui s'appuie sur les connaissances postérieures à cette observation.

Formalisation

Théorème de Bayes Le théorème de Bayes s'énonce de la manière suivante : , si .

désigne ici la probabilité a priori de , tandis que désigne la probabilité a posteriori, c'est-à-dire la probabilité conditionnelle de sachant . est la vraisemblance de A sachant B.

Lois

Soit θ un paramètre ou vecteur de paramètres inconnu considéré aléatoire :

la loi de la variable aléatoire avant observation est appelée loi a priori, notée généralement Introduction aux Statistiques Bayésiennes. Par Yann Traonmilin et Adrien Richou, Institut de Mathématiques de Bordeaux, PDF, 19 pagesStatistique Bayésienne - Notes de cours. Par Judith Rousseau, ENSAE ParisTech, Troisième année 2009-20010, PDF, 54 pages ;

la loi de la variable aléatoire après observation est appelée loi a posteriori.

Extension du modèle

Soit une variable aléatoire dont la loi de probabilité associée dépend de , et l'observation.

Le théorème de Bayes s’énonce alors : .

La probabilité a priori est et la probabilité a posteriori devient .

La loi a priori est toujours et la loi a posteriori est alors la loi de conditionnellement à l'observation de et s'écrit donc .

Choix d’une loi de probabilité a priori

Les lois a priori peuvent être créées à l'aide d'un certain nombre de méthodes.

Une loi a priori peut être déterminée à partir d'informations antérieures, telles que des expériences précédentes.

Elle peut être obtenue à partir de l'évaluation purement subjective d'un expert expérimenté.

Une loi a priori non informative peut être créée pour refléter un équilibre entre les résultats lorsque aucune information n'est disponible.

Les lois a priori peuvent également être choisies en fonction d'un certain principe, comme la symétrie ou la maximisation de l'entropie compte tenu des contraintes ; les exemples sont la loi a priori de Jeffreys ou l’a priori de référence de Berger-Bernardo.

Enfin, lorsqu'il existe une famille d’, le choix d'un a priori dans cette famille simplifie le calcul de la loi a posteriori.

Articles connexes Inférence bayésienne Probabilité a posteriori Probabilité conditionnelle Statistique bayésienne Fonction de vraisemblance Théorème de Bayes

Notes et références Notes

Références

Bibliographie

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