En analyse complexe, lintégration de contour est une technique de calcul d'intégrale le long de chemins sur le plan complexe

L'intégration de contour est fortement liée au calculs de résidus, une méthode de calcul utilisée pour évaluer des intégrales curvilignes sur l'axe des réelles, que les outils de la théorie de l'intégration ne permettent pas de calculer par une simple analyse réelle

Les méthodes d'intégration de contour incluent : l'intégration directe d'une fonction à valeurs complexes le long d'une courbe du plan complexe (ledit contour) ; une application de la formule intégrale de Cauchy ; l'application du théorème des résidus. Ces méthodes peuvent être combinées pour obtenir les résultats attendus.

Courbes dans le plan complexe Les contours donnent une définition précise des courbes sur lesquelles une intégrale peut être exactement définie. Une courbe du plan complexe est donc une fonction continue renvoyant un intervalle réel fermé sur le plan complexe : .

Cette définition coïncide avec la notion intuitive d'une courbe, mais inclut une paramétrisation par une fonction continue à partir d'un intervalle fermé. Cette définition plus précise permet de réfléchir aux propriétés que doit avoir une courbe pour qu'elle soit utile à l'intégration. Dans les sous-sections suivantes, on réduira l'ensemble de courbes intégrables pour n'inclure que celles qui peuvent être construites à partir d'un nombre fini de courbes continues, auxquelles on peut donner une direction. De plus, on empêchera les "morceaux" de se croiser, et on imposera que chaque morceau ait une dérivée continue finie (non nulle). Ces exigences permettent de ne considérer que les courbes qui peuvent être tracées, comme par un stylo, dans une séquence de traits constants et réguliers, qui ne s'arrêtent que pour commencer un nouveau morceau de la courbe, le tout sans relever le stylo.

Courbes lisses orientées Les contours sont définis comme des courbes régulières orientées. On peut ainsi définir précisément un "morceau" d'une courbe lisse, dont on trace un contour.

Une courbe lisse est une fonction avec une dérivée continue qui ne s'annule pas et ne possèdent pas de point double, sauf peut-être aux extrémités (tel que ). On parle alors de courbe fermée, et la fonction doit alors être bijective et les dérivées doivent correspondre aux extrémités (). Sinon, on parle d'arc lisse ou de courbe ouverte.

La paramétrisation d'une courbe donne un ordre naturel des points de la courbe : est avant si . On peut ainsi définir une courbe lisse orientée, ce qui est surtout utile pour les courbes indépendantes d'une paramétrisation spécifique. Ceci peut être fait en considérant des classes d'équivalence de courbes lisses avec la même direction. Une courbe lisse orientée est alors un ensemble ordonné de points du plan complexe, image d'une courbe lisse dans leur ordre naturel (selon la paramétrisation). Il faut noter que tous les ordres de points correspondent à l'ordre naturel d'une courbe lisse. En effet, une courbe lisse donnée n'a que deux ordres. De plus, une courbe fermée peut avoir tout point comme extrémité, alors qu'un arc lisse aura deux possibilités.

Contours Les contours sont les classes de courbes sur lesquelles on peut définir l'intégration de contour. Un contour est une courbe orientée qui est formé d'une suite finie de courbes lisses dirigées dont les extrémités sont reliées pour donner une seule direction. Cela nécessite que la suite de courbes soit telle que, le point final de coïncide avec le point initial de , . Cela inclut toutes les courbes lisses dirigées. De même, un point singleton du plan complexe peut être considéré comme un contour. Le symbole + est souvent utilisé pour désigner le raccordement des courbes afin de former une nouvelle courbe. Ainsi on peut construire un contour qui est formé de courbes telles que

Intégrales de contour L'intégrale de contour d'une fonction complexe , est une généralisation de l'intégrale pour les fonctions réelles. Pour les fonctions continues du plan complexe, l'intégrale de contour peut être définie de façon analogue à l'intégrale curviligne en définissant d'abord l'intégrale le long d'une courbe lisse orientée en termes d'intégrales sur un paramètre réel. Une définition plus générale peut être donnée en termes de partitions du contour par analogie avec la partition d'un intervalle et l'intégrale de Riemann. Dans les deux cas, l'intégrale sur un contour est définie comme la somme des intégrales sur les courbes lisses orientées qui constituent le contour.

Pour les fonctions continues Pour définir l'intégrale de contour dans ce cas, on dit d'abord considérer l'intégrale, sur une variable réelle, d'une fonction à valeurs complexes. Soit une fonction à valeurs complexes d'une variable réelle . Les parties réelles et imaginaires de sont souvent dénotées et , respectivement, de sorte que

Alors l'intégrale de sur l'intervalle est donnée par

Soit une fonction continue sur une courbe lisse orientée . Soit une paramétrisation de consistante avec sa direction. Alors l'intégrale le long de est notée

et se calcule par

Cette définition est bien définie. Ainsi, le résultat est indépendant de la paramétrisation choisie. Dans le cas où l'intégrale à droite n'existe pas, l'intégrale le long de n'est pas définie.

Comme une généralisation de l'intégrale de Riemann La généralisation de l'intégrale de Riemann aux fonctions d'une variable complexe est faite par analogie avec les fonctions d'une variable réelle. La partition d'une courbe lisse orientée est définie comme un ensemble de points ordonnés et fini sur . L'intégrale sur la courbe est la limite des sommes finies de valeurs de fonction, prise aux points de la partition, où la limite est celle où la distance maximum entre n'importe lequel des deux points successifs sur la partition (dans le plan complexe 2D), connu comme le maillage, tend vers zéro.

Exemples de contours particuliers

Arc de Jordan Un arc de Jordan est une courbe fermée simple du plan complexe qui sépare le plan en deux parties : l'intérieur et l'extérieur. Les contours les plus simples et intuitifs pour les intégrales de contour sont les arcs de Jordan et les lacets. Afin de pouvoir appliquer le théorème des résidus, on construira donc un lacet entourant les pôles de l'intégrande.

Contour de Hankel

Un contour de Hankel est une courbe ouverte entourant un demi-axe du plan.

La version la plus courante consiste en deux demi-droites parallèles au demi-axe choisi, reliées par un arc de cercle centré à l'origine du demi-axe. Il est parcouru dans le sens horaire.

Ce type de contour est utilisé lorsqu'un logarithme complexe est impliqué, comme la fonction Gamma d'Euler sur le plan complexe.

Contour de Pochhamer

Un contour de Pochhammer, introduit par Camille JordanJordan (1887), pp. 243–244 et Leo Pochhammer, est utile pour les intégrales de contour autour de deux points. En notant et les boucles parcourues autour des points et respectivement, alors le contour de Pochhammer est , où l'exposant −1 désigne un chemin parcouru dans le sens inverse.

Par sa construction, la courbe est homologue à 0 mais pas homotopique à 0. Son indice autour de tout point est de 0 malgré le fait qu'à l'intérieur le plan doublement épointé il ne peut pas être réduit à un seul point.

Méthodes directes Les méthodes directes impliquent le calcul de l'intégrale par des méthodes similaires aux calculs d'intégrales curvilignes en calcul multivarié. Ainsi, on utilise la méthode suivante : paramétrer le contour le contour est paramétré par une fonction de variables réelles à valeurs complexes différentiable, ou en morceaux paramétrables substitution de la paramétrisation dans l'intégrande substituer la paramétrisation dans l'intégrande permet de revenir à des intégrales de la variable réelle évaluation directe

Exemple Un résultat fondamental en analyse complexe est que l'intégrale de contour de vaut , avec un chemin pris sur le cercle unité dans le sens anti-horaire (ou toute courbe de Jordan orientée positivement autour de 0). Dans le cas du cercle unité, il y a une méthode directe de calcul de l'intégrale

Dans le calcul de cette intégrale, le cercle unité est caractérisé par , qu'on paramètre par , avec , ce qui donne , d'où

On retrouve bien la valeur attendue.

Applications de théorèmes intégraux

Les théorèmes intégraux sont souvent utilisés les intégrales de contour sur un chemin, en utilisant le fait que l'intégrale d'une variable réelle est calculée en même temps que le calcul sur le chemin dans le plan complexe.

On utilise notamment la formule intégrale de Cauchy ou le théorème des résidus, de la façon suivante : un contour spécifique est choisi : le contour est choisi de façon à contenir la partie du plan complexe correspondant à l'intégrale réelle, et entourer les singularités de l'intégrande de sorte que le théorème s'applique application du théorème intégral de Cauchy l'intégrale est réduite à une intégration autour d'un petit cercle autour de chaque pole application du théorème intégral de Cauchy ou théorème des résidus l'application donne alors une valeur le long du contour division du contour en un contour sur les parties réelle et imaginaire l'entièreté du contour peut être divisée en un contour suivant la partie du plan complexe qui décrit l'intégrale réelle telle que choisie auparavant (on la note ), et la partie qui traverse le plan complexe (on la note ). L'intégrale sur le contour entier est la somme des intégrales sur ces deux contours. démonstration que l'intégrale passant par le plan complexe n'a aucun rôle dans la somme si l'intégrale sur peut être réduite à 0, ou si l'intégrale réelle s'avère impropre, alors si on prouve que l'intégrale sur tend vers 0, l'intégrale sur va tendre vers l'intégrale sur . conclusion si le point suivant est vérifié, alors on peut calculer directement , l'intégrale réelle.

Exemple 1

On considère l'intégrale

Pour le calcul, on passe par la fonction d'une variable complexe

qui présente deux singularités en et . On choisit donc un contour qui contient l'intégrale réelle, par exemple un demi-cercle dont le diamètre est formé par un intervalle sur la droite réelle (allant de vers , pour réel strictement supérieur à 1) conviendrait. On note ce contour .

Il y a deux façons de procéder, selon le théorème qu'on souhaite utiliser :

Avec la formule intégrale de Cauchy On note que :

soit

On observe que

Comme la seule singularité contenue dans le contour est celle en , on peut écrire

ce qui donne la fonction sous une forme qui permet l'application directe de la formule intégrale de Cauchy :

On prend la dérivée première, dans les calculs précédents, car le pole est d'ordre 2. Ainsi, est prise au carré, donc on utilise a dérivée première de . Si on avait élevé au cube, on aurait utilisé la dérivée seconde et divisé par 2!, etc. Le cas de à la puissance 1 correspond à une dérivée d'ordre 0 — soit elle-même.

On doit montrer que l'intégrale sur le demi-cercle tend vers zéro pour , par le lemme d'estimation

avec un majorant de sur l'arc et désignant la longueur de l'arc. Ainsi,

Ainsi

Par le théorème des résidus On considère la série de Laurent de en , qui est la seule singularité à considérer. On a

Il est clair par l'observation que le résidu vaut , ainsi, la formule des résidus permet de conclure :

Remarque sur le contour On aurait pu choisir le demi-cercle dans la partie inférieure du plan complexe, qui entoure la singularité en . Pour avoir l'intégrale sur l'axe réel bien orienté, il faudrait parcourir le demi-cercle dans le sens horaire, ce qui change le signe de l'intégrale complète, mais pas le résultat final sur l'intégrale réelle.

Exemple 2 – Distribution de Cauchy L'intégrale