En mathématiques, les fonctions de Debye, du nom de Peter Debye, sont des fonctions réelles utilisées en thermodynamique, comme dans les calculs analytiques des intégrales de radiation ou des capacités thermiques de ce qu'on appelle de nos jours le modèle de Debye.

Définitions La définition usuelle des fonctions de Debye est définie pour tout entier positif :

Debye a utilisé la fonction pour le calcul de capacités thermiques en 1912.

On utilise également la fonction complémentaire :

Une définition plus complète remplace l'entier par un réel strictement positif, de sorte que :

ou peut inclure un paramètre positif. :

Propriétés Relations On a :

Relations aux autres fonctions

Les fonctions de Debye sont fortement reliées aux fonctions polylogarithmes, les unes apparaissant dans les développements en série des autres (, § 27.1) :

Développement en séries Les fonctions de Debye ont pour développement en série entière, §27, p.998

où est le n nombre de Bernoulli.

On a également

où désigne la fonction gamma incomplète.

Limites

Toutes les fonctions de Debye tendent vers 1 en 0 :

Avec la fonction Gamma d'Euler et la fonction zêta de Riemann, on a,

Dérivée

La dérivée vérifie l'équation fonctionnelle

avec , la fonction de Bernoulli.

Applications en physique du solide

Modèle de Debye

Le modèle de Debye a une densité d'états vibrationnels

avec la fréquence de Debye.

Énergie interne et capacité thermique

En insérant la densité dans l'énergie interne

avec la distribution de Bose-Einstein . on obtient . La capacité thermique est la dérivée vue au-dessus.

Déplacement quadratique moyen

L'intensité de la diffraction des rayons X ou la diffraction des neutrons au nombre d'onde est donnée par le facteur de Debye-Waller ou le . Pour des systèmes isotropes, il prend la forme ). Dans cette expression, le déplacement quadratique moyen renvoie à une seule composante cartésienne du vecteur qui décrit le déplacement d'atome à partir de leurs positions d'équilibre. En supposant l'harmonicité en développant les modes normauxAshcroft & Mermin 1976, App. L., on retrouve

En insérant les densités d'état depuis le modèle de Debye, on trouve . Avec le développement en série entière de , on trouve le déplacement quadratique moyen à hautes températures, qui dépend linéairement de la température . L'absence de indique qu'il s'agit d'un résultat de physique classique. Puisque tend vers 0 pour on trouve pour (énergie du point zéro).

Références

Liens externes

, , . (la définition n'inclut pas le préfacteur ).

Catégorie:Fonction spéciale