Un nombre premier délicat est un nombre premier tel que, si l'on considère son écriture en base dixLa notion de délicatesse peut s'étendre de façon analogue à n'importe quelle base, mais certains théorèmes présentés dans l'article sont propres à la base dix., la modification d'un seul chiffre transforme le nombre de départ en un nombre composé... Leur étude a été proposée en 1978 par et se poursuit encore en 2021.
Définition et premier exemple On dit qu'un nombre premier est un nombre premier délicat, si son écriture décimale à chiffres est telle que tout remplacement d'une décimale (avec ) a pour résultat un nombre composé. Comme il existe remplacements possiblesChacun des chiffres peut, en base dix, être modifié de 9 façons différentes., identifier un nombre premier délicat nécessite de prouver la non-primalité de beaucoup de nombres ; la délicatesse d'un nombre à 11 chiffres nécessite donc d'établir que les nombres à 11 chiffres correspondants sont des nombres composés.
En base dix, le plus petit nombre premier délicat est .. Cela signifie que est premier mais que, par exemple, ., ., ., ., . ou encore . sont composésPour être complète, la preuve de délicatesse devrait traiter les remplacements possibles au lieu des six proposés ici..
Les plus petits nombres premiers délicats Il est possible d'étudier la délicatesse dans d'autres bases que la base dix, par exemple dans les bases 2 à 9. Le plus petit nombre premier délicat dans chacune d'elles est
+ Base Écriture dans la base En base dix22127323244373531358366743672238899 En numération décimale, les premiers nombres premiers délicats sont : , , , , , , , , , ..
En 2007, il a été établi que le nombre à mille chiffres est délicat..
Répartition Il a été montré en 1978 par Paul Erdős qu'il existe une infinité de nombres premiers délicats. De plus, Terence Tao a démontré en 2011 qu'en base dix l'ensemble des nombres délicats a une densité strictement positive dans l'ensemble des nombres premiers. : les nombres premiers délicats ne se raréfient donc pas par rapport aux nombres premiers, contrairement aux nombres premiers par rapport aux entiers naturels. La densité exacte des nombres délicats dans l'ensemble des nombres premiers n'est pas connue avec certitude, mais elle est minorée par et semble être voisine de .
Nombres premiers gravement délicats En 2021, Michael Filaseta, de l'université de Caroline du Sud a proposé d'étudier un sous-ensemble des nombres premiers délicats tels que si l'on ajoute à l'un d'eux une infinité de 0 avant le chiffre de poids fort puis que l'on modifie l'un de ces 0 on obtienne systématiquement un nombre composé. De tels nombres sont appelés nombres premiers gravement délicats (en anglais ). Avec son doctorant, il a établi que cet ensemble est infini, de densité strictement supérieure à et qu'il est possible de trouver des suites de longueur arbitraire de nombres premiers consécutifs qui soient gravement délicatsLe raisonnement utilisé est vulgarisé dans ; il consiste schématiquement à appliquer le théorème de la progression arithmétique à une suite arithmétique construite pour que tout nombre premier de la suite soit gravement délicat.. Ce résultat illustre le fait que les nombres premiers se font de plus en plus rares parmi les grands nombres, et donc qu'il est de moins en moins probable d'obtenir un nombre premier en substituant un chiffre par un autre.
Aucun tel nombre n'est pourtant connu avec certitude, bien qu'un travail non encore publié de 2021 semble en avoir identifié un commençant par , se terminant par et s'écrivant avec chiffres.
Notes et références Notes
Références
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