En mathématiques, la constante de Glaisher-Kinkelin ou constante de Glaisher, usuellement notée , est une constante mathématique, liée à l'hyper-factorielle et la super-factorielle. La constante apparait dans plusieurs sommes et intégrales, en particulier celles qui nécessitent les fonctions gamma et zeta. Son nom est dû aux mathématiciens James Whitbread Lee Glaisher et .
Sa valeur est approximativement :
... ().
La constante de Glaisher–Kinkelin est donnée par la limite :
où fonction est l'hyper-factorielle. La formule suivante fait le rapprochement entre et , équivalente à la formule de Stirling :
qui montre que tout comme est obtenue par une approximation de la fonction factorielle, est obtenue par l'approximation de l'hyper-factorielle.
Une définition équivalente de faisant intervenir la super-factorielle, donnée par est : .
La constante de Glaisher-Kinkelin apparait aussi dans l'évaluation des dérivées de la fonction zêta de Riemann : ,
où est la constante d'Euler–Mascheroni. Cette dernière formule mène directement au produit trouvé par Glaisher :
.
Une formule alternative, définie seulement sur les nombres premiers, est
où désigne le -ième nombre premier.
Voici quelques intégrales qui impliquent cette constante : ,
Une représentation en série de cette constante découle d'une série pour la fonction zêta de Riemann donnée par Helmut Hasse :
.
Références
(Provides a variety of relationships.
Voir aussi
Articles connexes
Table de constantes mathématiques
Liens externes Les premières décimales de la constante de Glaisher–Kinkelin
Catégorie:Théorie des nombres Glaisher-Kinkelin