En mathématiques, le théorème ATS est le théorème sur l'approximation d'une somme trigonométrique par une autre plus courte. L'application du théorème ATS est utile dans de nombreux problèmes de physique théorique mathématique.
Historique du problème Dans certains domaines des mathématiques et physique mathématique, les sommes de la forme
sont étudiées, où et sont des fonctions à valeurs réelles. De telles sommes apparaissent, par exemple, en théorie des nombres dans l'analyse de la fonction zêta de Riemann, dans la résolution de problèmes liés aux points entiers dans les domaines du plan et dans l'espace, dans l'étude des séries de Fourier, et dans la solution d'équation différentielle telles que l'équation des ondes, l'équation de potentiel, l'équation de la chaleur.
Le problème d'approximation de la série (1) par une fonction convenable a déjà été étudié par Euler et Poisson.
On définira la longueur de la somme comme le nombre (pour les entiers et c'est le nombre de termes dans ).
Sous certaines conditions sur et la somme peut être remplacé avec une bonne précision par une autre somme
où la longueur est bien inférieur à
Des relations de la forme
où sont respectivement les sommes (1) et (2), est un reste, avec des fonctions et bien choisies, ont été obtenus par G. H. Hardy et J. E. Littlewood, lorsqu'ils ont déduit une équation fonctionnelle approximative pour la fonction zêta de Riemann et par I. M. VinogradovI. M. Vinogradov. On the average value of the number of classes of purely root form of the negative determinant Communic. of Khar. Math. Soc., 16, 10–38 (1917)., dans l'étude des quantités de points entiers dans les domaines du plan. Sous sa forme générale le théorème a été démontré par J. Van der Corput, (sur les résultats récents liés au théorème de Van der Corput on peut lire en).
Dans chacun des ouvrages mentionnés ci-dessus, certaines restrictions sur les fonctions et ont été imposées. Avec des restrictions pratiques (pour les applications) sur et le théorème a été prouvé par A. A. Karatsuba dans (voir aussiA. A. Karatsuba, S. M. Voronin. The Riemann Zeta-Function. (W. de Gruyter, Verlag: Berlin, 1992).A. A. Karatsuba, M. A. Korolev. The theorem on the approximation of a trigonometric sum by a shorter one. Izv. Ross. Akad. Nauk, Ser. Mat. 71:3, —84 (2007).).
Théorème ATS
Notations 1. Pour ou la notation signifie qu'il existe des constantes et telles que
2. Pour un nombre réel la notation désigne la distance au plus proche entier .
Enoncé Soient les fonctions réelles ƒ(x) et définies sur le segment [a, b] satisfaisants les conditions suivantes :
1) et sont continues ;
2) il existe des nombres et tels que
et
On définit les réels par l'équation
Alors
où
La variante la plus simple du théorème ATS est le lemme de Van der Corput.
Lemme de Van der Corput
Soit une fonction réelle dérivable sur l'intervalle avec monotone de signe constant et soit une constante telle que satisfait l'inégalité Alors
où
Si les paramètres et sont des nombres entiers, alors il est possible de substituer la dernière relation par les suivantes :
où
Sur les applications de l'ATS aux problèmes de physique, voir.
Références
ATS