En géométrie euclidienne, une lentille est un ensemble convexe borné par deux arcs de cercle qui se rejoignent à leurs extrémités. Afin que cette forme soit convexe, les deux arcs doivent avoir des courbures inverses (convexe-convexe). Elle peut être vue comme l'intersection de deux disques, ou l'union de deux segments circulaires (régions entre la corde d'un cercle et le cercle lui-même), joints par une corde commune.

Types thumb|Exemple de deux lentilles asymétriques (à gauche et à droite) et une lentille symétrique (au milieu) thumb|right|upright=1|La Vesica piscis est l'intersection de deux disques de même rayon et dont la distance entre les cercles vaut aussi . Si les deux arcs ont même rayon, on parle de lentille symétrique, sinon, de lentille asymétrique.

La vesica piscis est une forme particulière de lentille symétrique, formée par deux arcs de cercle dont le centre de l'un est sur l'arc opposé. Ils forment donc un angle de 120° à leurs extrémités.

Aire Cas symétrique L'aire d'une lentille symétrique s'exprime en fonction du rayon et des longueurs d'arc en radians :

Cette aire est en effet le double de celle d'un segment circulaire d'angle .

La distance entre les centres des disques est , ce qui donne

Pour la vesica piscis, , donc , et , voir la . Cas asymétrique L'aire d'une lentille asymétrique s'exprime en fonction des rayons et et de la distance entre les centres :

avec

vignette|300x300px où on reconnait la formule de Héron pour l'aire d'un triangle appliquée à un triangle de côtés , et .

Avec les notations de la figure ci-contre, l'aire de la lentille est égale à l'aire du secteur OAB moins celle du triangle OAB plus l'aire du secteur oAB moins celle du triangle oAB, ce qui revient à la somme des aires des deux secteurs moins deux fois l'aire du triangle OAo, formé par les deux centres et une extrémité de la lentille, de côtés , et .

Elle vaut donc

Les angles et s'obtiennent pas la loi des cosinus dans le triangle OAo : , d'où la formule énoncée.

Applications Le , pose la question de la forme d'une lentille symétrique de sorte que son aire soit égale à celle de la différence symétrique des deux disques.

D'après la formule ci-dessus, la longueur d'arc de cette lentille vérifie , soit °, voir la .

Le rapport , voir la .

Les lentilles sont utilisées pour définir les , des graphes géométriques définis sur un ensemble de points en connectant des paires de points par un segment partout où une lentille déterminée par deux points est vide. vignette|Un citron géométrique.

Voir aussi Lunule, forme non convexe formée par deux arcs circulaires, avec des courbures dans le même sens. Problème de la chèvre, dans le cas où l'un des deux disques est centré sur la circonférence de l'autre. Citron (géométrie), surface créée par la rotation d'une lentille symétrique autour de son axe (partie intérieure d'un tore croisé) vignette|Cyclide de Dupin croisée. . Lentille optique. Références

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