En astronomie, plus précisément en mécanique céleste, le mouvement képlérien correspond à une description du mouvement d'un astre par rapport à un autre respectant les trois lois de Kepler. Pour cela il faut que l'interaction entre les deux astres puisse être considérée comme purement newtonienne, c'est-à-dire qu'elle varie en raison inverse du carré de leur distance, et que l'influence de tous les autres astres soit négligée. Il est fréquent que l'un des deux corps (qualifié alors de « central ») soit de masse (beaucoup) plus importante que l'autre, et soit donc dominant gravitationnellement, tel que celui d'une étoile par rapport à l'une de ses planètes, d'une planète par rapport à l'un de ses satellites naturels ou artificiels, etc. Le mouvement képlérien décrit alors le mouvement du corps relativement moins massif.
Le mouvement képlérien est en fait un cas particulier du problème à deux corps, dans le cas d'une force variant comme l'inverse du carré de la distance, ce qui correspond à la force d'interaction gravitationnelle entre les deux corps, s'ils sont supposés ponctuels ou encore à symétrie sphérique L'approximation qui consiste à considérer les corps comme ponctuels est valable si leurs dimensions respectives peuvent être considérées comme petites devant la distance qui les sépare. Si l'on considère qu'ils possèdent la symétrie sphérique, ce qui est vérifié en première approximation pour de nombreux corps célestes, notamment les planètes, le champ de gravitation créé à l'extérieur de chacun des astres est le même que celui créé par un point matériel placé au centre de corps, et affecté de sa masse totale (cf. par exemple Perez, op. cit., chapitre 6, pages 77-78)., et constituant un système isoléVoir par exemple: , , chapitre 3.. Or le problème à deux corps peut toujours être ramené à celui du mouvement d'une particule (dite fictive) dans le référentiel du centre de masse des deux corps, les trajectoires des corps « réels » étant homothétiques de celles de cette particule fictive.
Dans le cas du champ de gravitation « newtonien », l'étude du mouvement de ce corps fictif dans le champ de gravitation « créé » par un centre fixe à l'origine est appelé problème de KeplerLuc Duriez, Cours de mécanique céleste classique, université Lille-I / IMCCE, 2002, (lire en ligne), chapitre 3.Cf. Perez, Cours de physique : mécanique, , Masson, Paris, 2001, chapitre 12. et le mouvement résultant est précisément le mouvement képlérien. Il est intéressant de noter qu'en dépit de ces appellations, Kepler ne formula pas ainsi la situation, mais déduisit ses lois du mouvement des planètes en utilisant les observations réalisées par Tycho Brahe, notamment sur le mouvement de la planète Mars, alors que ni la loi de la gravitation universelle ni le principe fondamental de la dynamique n'avaient encore été découverts. De fait, ce problème dit de Kepler n'a été formulé correctement qu'avec Newton, sous une forme géométriqueCf. Isaac Newton, |Principes mathématiques de la Philosophie Naturelle , livre 1, édition de 1756, trad. Émilie du Châtelet, livre 1, notamment les sections II à III (numérisation e-rara)..
Il est alors possible de montrer que les trajectoires des corps célestes sont des coniques, en particulier des ellipsesDu moins bien sûr pour la situation où les deux corps demeurent liés entre eux, qui correspond sur le plan énergétique à une énergie mécanique (notée H) négative du système, autrement dit que l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle entre les deux corps, notée V (négative par convention) « l'emporte » sur l'énergie cinétique totale du système, notée T, toujours positive, évaluée dans le référentiel barycentrique. Dans ce cas il est clair qu'aucun des deux corps ne pourra aller à l'infini l'un de l'autre, puisque la condition ne sera plus vérifiée dans le cas où H<0 au-delà d'une certaine distance r telle que , V tendant vers 0 quand r croît. En revanche si H>0 ou si H=0, cette condition restera vérifiée même à l'infini., ce dernier cas très important étant souvent désigné sous le nom dorbite de Kepler. Dans le cas fréquent où l'un des deux corps est de masse beaucoup plus importante que l'autre, il peut être considéré comme immobile à l'un des foyers de la conique, qui représente alors la trajectoire du corps « périphérique ».
Comme tout modèle, le problème de Kepler correspond bien sûr à une situation idéalisée, puisque l'influence de tous les autres corps célestes est négligée, tout comme les déviations au caractère non-newtonien de la force de gravitationCes déviations sont à la fois celles dues au caractères non-ponctuel et non-sphérique (aplatissement lié à la rotation, irrégularité, etc.) des corps célestes en jeu, mais aussi à la présence de forces non-gravitationnelles, telles que la traînée atmosphérique, ou la pression de radiation solaire pour un satellite artificiel, où les deux forces peuvent avoir une grande importance, ou encore pour une comète, en ce qui concerne la pression de radiation.. Toutefois cette approximation est souvent vérifiée avec une très bonne approximation dans de nombreux cas. Ainsi dans le Système solaire le Soleil, qui concentre 99,86 % de la masse totale du système, domine gravitationnellement tous les autres corps. Il est donc possible de considérer avec une bonne approximation le mouvement de chaque planète ou de tout autre corps du système comme képlérien. L'influence des autres corps peut ensuite être prise en compte comme des perturbations de l'orbite képlérienneAu besoin en tenant compte des corrections liées à la relativité générale, comme pour Mercure, cf. Tests expérimentaux de la relativité générale#Avance du périhélie de Mercure, celle-ci constituant ainsi « l'orbite de base » à partir de laquelle il est possible de construire par approximations successives l'orbite « réelle » du corps céleste considéré. Par suite, l'étude du mouvement képlérien est d'une importance capitale en mécanique céleste.
Aspects historiques
De nombreux modèles furent proposés durant l'Antiquité pour représenter les mouvements des planètesÀ cette époque, cette notion inclut également le Soleil et la Lune. Au sens moderne, cinq planètes étaient alors connues : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. Le mot planète dérive de l'expression πλανήτης αστήρης planêtês astêrês « astre (ou étoile) errant », en effet celles-ci se distinguent des étoiles « fixes » par leur mouvement apparent sur la sphère céleste au cours du temps.. Ces modèles sont à la fois des « cosmologies », c'est-à-dire des « représentations du monde » (ou de l'Univers, ou du κόσμος, kósmos, « monde ordonné » des GrecsAinsi selon Socrate : .) et des tentatives de comprendre et de prévoir les phénomènes astronomiques, notamment pour déterminer les dates des éclipses ou la construction des calendriers. Tous ces systèmes sont géocentriques, c'est-à-dire qu'ils placent la Terre au centre de l'Univers. La seule exception, qui n'aura aucune postérité immédiate, est le modèle héliocentrique d'Aristarque de Samos, proposé vers -280.
Selon Simplicius (fin - début )Ainsi dans son Commentaire à la Physique d'Aristote, celui-ci écrit : . c'est Platon (427-327 ) qui aurait proposé à son élève Eudoxe de Cnide (408-355 ) d'étudier le mouvement des planètes en n'utilisant que des mouvements circulaires et uniformes, considérés comme parfaits Voir par exemple Encyclopédia Universalis, édition 2002, volume 3, article « Astronomie et astrophysique » , ou encore Notionnaires Universalis - Idées, , Encyclopedia Universalis France SA, Paris, 2005..
La difficulté de décrire précisément les mouvements des planètes, notamment les phénomènes de rétrogradation, conduit à des représentations complexes. Les connaissances astronomiques du monde gréco-romain sont résumées au de notre ère par Ptolémée (vers 90 - 168 ap. JC), dans un ouvrage en Grec transmis par les Arabes sous le nom de l'AlmagesteLe titre original est Μαθηματική σύνταξις (Mathématikế sýntaxis), Composition mathématique. Le nom courant de cet ouvrage via d'une latinisation de l'arabe al-majisṭī (المجسطي). Cet ouvrage est disponible en trois volumes sur Internet :première partie, seconde partie et troisième partie. Connu sous le nom de modèle de Ptolémée, la représentation du système solaire et du mouvement des planètes (ainsi que de la Lune et du Soleil) utilise comme ses prédécesseurs un modèle géocentrique, et un système élaboré de sphères en rotation circulaire et uniforme, les épicycles et déférents, introduit par Hipparque (), qu'il perfectionne en introduisant la notion d'équant, qui est un point distinct du centre du cercle déférent par rapport auquel une planète, ou le centre d'un épicycle, se déplace à vitesse uniforme.
Le système de Ptolémée va dominer l'astronomie pendant quatorze siècles. Il donne des résultats satisfaisants malgré sa complexité, au besoin en modifiant et raffinant le modèle des épicycles, déférents, et points équants. Considéré comme compatible avec la philosophie d'Aristote, le géocentrisme devient doctrine officielle de l’Église en Europe au cours du Moyen Âge.
On doit à Nicolas Copernic (1473-1543) la remise en cause du dogme géocentrique. Il publie en 1543, l'année de sa mort, son ouvrage majeur De revolutionibus Orbium Coelestium où il propose un système héliocentrique, dans lequel les planètes et la Terre se déplacent selon des orbites circulaires, parcourues à vitesses constantes, la Lune étant le seul astre tournant autour de la Terre. Bien qu'imparfaite, cette vision s'avère très féconde : les mouvements des planètes sont plus simples à décrire dans un référentiel héliocentrique. L'ensemble des irrégularités de mouvements telles que les rétrogradations s'explique uniquement par le mouvement de la Terre sur son orbite, plus précisément en termes modernes par l'effet du passage du référentiel héliocentrique au référentiel géocentrique. Le système de Copernic permet également de supposer que les étoiles de la « sphère des fixes » sont à une distance bien plus grande de la Terre (et du Soleil) que l'on le supposait jusqu'alors, pour expliquer l'absence d'effet observé alors (parallaxe) du mouvement de la Terre sur la position des étoiles. Il est à noter qu'initialement le système de Copernic, qui sur la pratique astronomique consistait à échanger les positions de la Terre et du Soleil, ne suscita pas une opposition de principe de l’Église, jusqu'à ce que celle-ci s'aperçut que ce modèle remettait en cause la philosophie d'Aristote.
Johannes Kepler (1571-1630) perfectionnera ce modèle. Grâce à l'analyse soigneuse des observations précises de son maître Tycho Brahe (1541-1601), notamment concernant le mouvement de la planète Mars, il publie ses trois célèbres lois (Cf. Lois de Kepler) en 1609, 1611, 1618 : première loi : deuxième loi : troisième loi :
Le modèle de Kepler est d'une importance capitale en astronomie : il rompt avec le dogme géocentrique, mais également avec celui de l'utilisation du mouvement circulaire et uniforme pour décrire le mouvement des planètes, car non seulement les orbites ne sont plus des cercles, mais la deuxième loi implique que les vitesses de révolution sur celles-ci ne sont plus constantes, les planètes devant se mouvoir plus rapidement au voisinage de leur passage au plus près du foyer (le périastre) qu'à celui du point le plus éloigné (lapoastre).
Isaac Newton (1642-1727), démontre ces lois empiriques en 1687 (voir ; Démonstration des lois de Kepler), en proposant une loi de la gravitation dite universelle, car s'appliquant aussi bien pour les mouvements des planètes que pour l'explication de la chute d'un corps sur la Terre. Ceci marque le début d'une nouvelle ère : la mécanique céleste et la mécanique classique fondées sur le calcul infinitésimal.