En mathématiques, le lemme du ping-pong permet de montrer que certains éléments d'un groupe agissant sur un ensemble engendrent un sous-groupe libre de ce groupe.

Histoire L'argument du ping-pong remonte à la fin du et est généralement attribué. à Felix Klein, qui l'utilisa pour étudier les , les sous-groupes discrets de PSL(2, ℂ). Le lemme du ping-pong fut un outil crucial pour Jacques Tits, qui l'utilisa dans son article de 1972. contenant la preuve d'un résultat célèbre appelé dès lors l'. Ce théorème établit que tout groupe linéaire de type fini est virtuellement résoluble ou bien contient un sous-groupe libre de rang 2. Le lemme du ping-pong et ses variantes.. sont largement utilisés en topologie géométrique et en théorie géométrique des groupes.

Énoncés Soit G un groupe agissant sur un ensemble X.

Cette variante se déduit de l'énoncé précédent en posant X = X∪X et H = ⟨a⟩.

Exemples

Dans le groupe spécial linéaire Le groupe spécial linéaire SL(2,Z) est engendré par les deux matrices élémentaires de transvections et . On peut utiliser le lemme du ping-pong pour démontrer. que pour tout entier , le sous-groupe engendré par les matrices et Ou plus généralement : le sous-groupe engendré par et pour : cf. , Proposition 1.2. est libre de rang 2.

Dans un groupe hyperbolique Dans un groupe hyperbolique sans torsion, soient g et h deux éléments qui ne commutent pas. Alors, § 8.2, ., il existe M ≥ 1 tel que pour tous entiers m, n ≥ M, le sous-groupe ⟨gn, hm⟩ soit libre de rang 2.

Applications Le lemme du ping-pong est utilisé dans les groupes Kleiniens, pour étudier leurs . Dans ce contexte, il permet de montrer qu'un certain groupe d'isométries de l'espace hyperbolique de dimension 3 est non seulement libre mais proprement discontinu et . Des arguments similaires sont largement utilisés en théorie géométrique des groupes, en particulier pour les sous-groupes de groupes hyperboliques et pour les groupes d'automorphismes d'arbres.. Le lemme du ping-pong est aussi utilisé pour étudier les sous-groupes de type Schottky des mapping class groups de surfaces de Riemann, où l'ensemble sur lequel agit le mapping class group est le de l'espace de Teichmüller.. Un argument similaire est aussi utilisé dans l'étude des sous-groupes du groupe des automorphismes extérieurs d'un groupe libre.. L'une des applications les plus célèbres du lemme du ping-pong est la preuve par Jacques Tits de son alternative pour les groupes linéairesVoir aussi pour une présentation de la preuve de Tits, expliquant les idées en jeu, y compris l'utilisation du lemme du ping-pong.. Certaines généralisations du lemme du ping-pong produisent non seulement des produits libres mais aussi des produits libres amalgamés et des extensions HNN. Elles sont utilisées en particulier dans la preuve du théorème de combinaison de Maskit pour les groupes Kleiniens, chap. VII.C et VII.E, et 160-167.. D'autres versions du lemme du ping-pong garantissent que certains éléments d'un groupe engendrent un demi-groupe libre. De telles versions existent tant dans le cadre général de l'action d'un groupe sur un ensemble. que pour des types d'actions plus spécifiques, comme dans le contexte des groupes linéaires, 2.2. ou des , ., ou autres, 2.1..

Notes et références

Bibliographie

et erratum mineur

Ping-pong Ping-pong Catégorie:Action de groupe Catégorie:Combinatoire des mots