droite|vignette|350x350px| Dimension d'Assouad sur le triangle de Sierpiński. Pour R=2 et r=1 , donc la dimension peut être comme la dimension Hausdorff . En mathématiques, et plus précisément en géométrie fractale, la dimension d'Assouad est une définition de la dimension fractale pour les sous-ensembles d'un espace métrique. Il a été introduit par Patrice Assouad dans sa Thèse de doctorat en 1977 et publié plus tard en 1979. Elle a été définie plus tôt par Georges Bouligand (1928). En plus d'être utilisée pour étudier les fractales, la dimension d'Assouad a également été utilisée pour étudier les applications quasi-conformes et les problèmes de plongement.
Définition
Soit un espace métrique, et soit être un sous-ensemble non vide de . Pour , soit le plus petit nombre de boules ouvertes métriques de rayon inférieur ou égal à r avec lequel il est possible de recouvrir . La dimension d'Assouad de est défini comme l'infinumum pour laquelle il existe des constantes positives et de sorte que, si
on ait :
L'intuition sous-jacente à cette définition est que, pour un ensemble E de dimension entière "ordinaire" n, le nombre de petites boules de rayon r nécessaires pour couvrir l'intersection d'une plus grande boule de rayon R avec E sera comme ( ) n .
Références
Bibliographie
M. G. Bouligand, « Ensembles impropres et nombre dimensionnel », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1928,
Assouad Catégorie:Fractale