Dans un espace topologique, deux éléments x et y sont (topologiquement) indiscernables si tout voisinage de x contient y et si tout voisinage de y contient x. À l'inverse, on dit que x et y sont (topologiquement) discernables s'ils ne sont pas indiscernables. Plus précisément, s'il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou s'il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.
Il est évident que deux éléments discernables doivent être distincts (car x appartient à tout voisinage de x). Réciproquement, si tous x et y distincts sont discernables, X est dit T.
La relation « sont indiscernables » est une relation d'équivalence.
Propriétés
Relation d'équivalence
Notons la relation binaire « sont indiscernables ». En notant le préordre de spécialisation, on voit alors facilement que l'on a :
Ainsi nous rendons-nous compte que est une relation d'équivalence : celle naturellement associée au préordre.
Caractérisations Soit .
Les assertions suivantes sont équivalentes :
et sont indiscernables ;
.
Notes et références
Liens externes
Voir aussi Articles connexes Axiomes de séparation Espaces T
Catégorie:Topologie générale