La contraction du symbole de Christoffel s'exprime à partir de la dérivée partielle du déterminant du tenseur métrique.

Démonstration

Partant de l'expression du symbole de Christoffel en fonction de la dérivée partielle du tenseur métrique , et profitant de la symétrie du tenseur métrique

on a . Échangeant et des produits internes du dernier terme, on voit que le premier terme le neutralise et l'on obtient .

D'autre part la différentielle du déterminant s'obtient en sommant le produit de chaque différentielle d'un élément de matrice par le mineur correspondant à cet élément. Comme la matrice est l'inverse de la matrice du tenseur métrique , les mineurs cherchés sont . Ainsi et donc

On a donc .

Remarques

Le symbole de Christoffel étant symétrique, on a

Ni le symbole de Christoffel ni la dérivée partielle ne représentent des tenseurs. Néanmoins cette formule peut figurer dans des expressions qui représentent des tenseurs.

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