Les Éléments (en grec ancien : ) sont un traité de mathématiques et géométrie, constitué de treize livres organisés thématiquement, probablement écrit par le mathématicien grec Euclide vers Il comprend une collection de définitions, axiomes, théorèmes et leur démonstration sur les sujets de la géométrie euclidienne et de la théorie des nombres primitifs.
L'ouvrage est le plus ancien exemple connu d'un traitement axiomatique et systématique de la géométrie ; son influence sur le développement de la logique et de la science occidentale est fondamentale. Il s'agit probablement du recueil qui a rencontré le plus de succès au cours de l'Histoire. Les Éléments sont l'un des premiers livres imprimés (Venise, 1482), seulement surpassé par la Bible pour le nombre d'éditions publiées (largement plus de ). Pendant des siècles, il a fait partie du cursus universitaire standard.
Organisation vignette|Une des plus anciennes versions connues des Éléments : le (fragment daté des environs de l'an 300, ou peut-être de l'an 100). Dans les Éléments, la méthode d'exposition d'Euclide suit la forme démonstrative. Euclide se fonde sur des principes, ou propositions premières : définitions, demandes (ou postulats selon la traduction latine) et notions communes (ou axiomes), et en déduit de façon rigoureuse des propositions, souvent divisées en théorèmes et problèmes. Les théorèmes énoncent des propriétés, comme les cas d'égalité des triangles (dont un est donné à la du ), alors que les problèmes se rapportent plutôt à des constructions (comme celle d'un triangle équilatéral sur un segment, donnée à la du ).
Des définitions apparaissent dans la plupart des livres, mais pas dans tous, et souvent au début : 23 au Livre I, 2 au livre II, 11 au livre III, 7 au livre IV, 18 au livre V, 4 au livre VI, 22 au livre VII, 16 au livre X dont certaines dans le cours de l'exposé et 28 au livre XI ; les autres n'en contiennent pas.Ses décomptes ainsi que ceux qui suivent sont faits à partir de l'édition qui est l'édition de référence depuis la fin du , celle que cite Caveing et qui est traduite par Vitrac. Mais cette édition elle-même signale certaines interpolations possibles (entre crochets), que Heiberg ne reprend pas toutes dans sa traduction latine (par exemple au livre VI). Et il peut y avoir d'autres variations dans d'autres éditions plus anciennes.. Les demandes et notions communes n'apparaissent qu'au livre I.
Ainsi, le livre I contient (point, ligne, surface), cinq postulats et neuf notions communes, dont au moins quatre sont contestées notent les 4 notions communes contestées entre crochets..
Postulats Un segment de droite peut être tracé en joignant deux points quelconques. Un segment de droite peut être prolongé indéfiniment en une ligne droite. Étant donné un segment de droite quelconque, un cercle peut être tracé en prenant ce segment comme rayon et l'une de ses extrémités comme centre. Tous les angles droits sont congruents. Si deux lignes droites sont sécantes avec une troisième de telle façon que la somme des angles intérieurs d'un côté est inférieure à deux angles droits, alors ces deux lignes sont forcément sécantes de ce côté.
Notions communes Selon le mathématicien, François Peyrard (1759-1822) et le physicien Leonard Mlodinow (1954-), les notions se reportent ainsiLéonard Milodinow, Dans l'œil du compas : la géométrie d'Euclide à Einstein, p. 49. Voir aussi la traduction de Peyrard, sur remacle.org, légèrement différente. : deux choses égales à une troisième sont aussi égales entre elles ; si des grandeurs égales sont ajoutées à d'autres grandeurs également égales entre elles, leurs sommes sont égales ; si des grandeurs égales sont soustraites à d'autres grandeurs égales, leurs différences sont égales ; si des grandeurs qui coïncident, s'adaptent avec une autre, elles sont égales entre elles ; le tout est plus grand que la partie.
Postérité vignette|Vaticanus græcus 190. Le succès des Éléments est dû principalement à sa présentation logique et organisée. L'utilisation systématique et efficace du développement des démonstrations à partir d'un jeu réduit d'axiomes incita à les utiliser comme livre de référence pendant des siècles.
Tout au long de l'Histoire, quelques controverses entourèrent les axiomes et les démonstrations d'Euclide. Néanmoins, les Éléments restent une œuvre fondamentale dans l'histoire des sciences et furent d'une influence considérable. Les scientifiques européens Nicolas Copernic, Johannes Kepler, Galileo Galilei et particulièrement Isaac Newton furent tous influencés par les Éléments et appliquèrent leur connaissance du livre à leurs propres travaux. Plusieurs mathématiciens (Clavius, Gilles Personne de Roberval, Adrien-Marie Legendre, Bertrand Russell, Alfred North Whitehead) et philosophes (Baruch Spinoza) ont également tenté d'écrire leurs propres Éléments, des structures déductives axiomatiques appliquées à leurs disciplines respectives.
Des cinq postulats énoncés dans le livre I, le dernier, dont on déduit le postulat des parallèles : , a toujours semblé moins évident que les autres. Plusieurs mathématiciens soupçonnèrent qu'il pouvait être démontré à partir des autres postulats, mais toutes les tentatives pour ce faire échouèrent. Vers le milieu du , il fut démontré qu'une telle démonstration n'existe pas, que le cinquième postulat est indépendant des quatre autres et qu'il est possible de construire des géométries non euclidiennes cohérentes à partir de sa négation..
Histoire Prédécesseurs Les spécialistes estiment que les Éléments sont en grande partie une compilation de propositions basées sur des ouvrages de mathématiciens grecs antérieurs.
Proclus (412-485), un mathématicien grec qui a vécu environ sept siècles après Euclide, a écrit dans son Commentaire sur le premier livre des Éléments d’Euclide : « Euclide, qui a rassemblé les Éléments, rassemblant de nombreux théorèmes d'Eudoxe, perfectionnant de nombreux théorèmes de Théétète, et apportant également une démonstration irréfutable des choses qui n'avaient été que vaguement prouvées par ses prédécesseurs ».
Pythagore (vers 570-) est probablement à l'origine de la plupart des propriétés des livres I et II, Hippocrate de Chios (vers 470-, et non Hippocrate de Kos, mieux connu) du livre III, et Eudoxe de Cnide (vers 408-) du livre V, tandis que les , VI, XI et XII proviennent probablement d'autres mathématiciens pythagoriciens ou athéniensBall 1915, p. 54..
Transmission du texte L’ouvrage d’origine, probablement écrit sur des rouleaux de papyrus, a été perdu, comme tous ceux de cette époque. Le texte n'est donc connu que par des copies successives et traductions ultérieures. Malgré la perte des manuscrits originaux et les nombreux travestissements qu’a connu ce texte au fil de l’histoire, les spécialistes estiment que l’édition critique des Éléments de J. L. Heiberg (1883-1888) est fidèle à l’originale John Murdoch, "Euclid: Transmission of the Elements", Dictionary of Scientific Biography IV, 1971..
Plus anciennes copies connues Un ancien manuscrit sur parchemin, un fragment palimpseste dans un manuscrit syriaque, est répertorié London British Library Add. 17211.. Il est encore écrit en écriture majuscule et date du -). On peut y lire quelques portions de propositions du Livre X et une du .
Les deux plus anciens manuscrits quasi complets qui nous sont parvenus datent du , après la translittération byzantine de l'écriture majuscule à l'écriture minuscule. Le Oxford, Bodleian Library, D’Orville 301 est le seul daté : sa copie a été commandée au clerc Stéphane par Aréthas, alors diacre, et achevée en apr. J.-C.. Le Vaticanus græcus 190, copié autour de 830-850, est le seul manuscrit d'importance indépendant de l'édition des Éléments par Théon d'Alexandrie, comme l'a découvert François Peyrard au début du . Celui-ci l'identifie à Paris parmi les manuscrits dérobés par Gaspard Monge à la bibliothèque vaticane lors de la campagne d’Italie du futur . Le manuscrit était probablement présent à la bibliothèque depuis le (et lui fut rendu).
Avant cela, nous disposons d’une part de fragments de papyrus et d’autre part de commentaires, références ou citations faits dans d’autres ouvrages par d’autres auteurs de l’antiquité.
Pour les papyrus, B. Vitrac en répertorie sept dont quatre portent sur le livre 1 »B. Vitrac, Préalables à une nouvelle édition critique des Éléments d’Euclide, p32, . Le plus célèbre est le Papyrus Oxyrhynchus 29Papyrus Oxyrhynchus 29 (75-125 apr. J.-C.), contenant la proposition 5 du livre 2 et un diagramme non identifié. B. Vitrac cite aussi le Papyrus Fayûm 9 ()publié en 1900 par Grenfell et Hunt, contenant des portions des Propositions (pas de reproduction trouvée sur le net). J. L. Heiberg (voir plus bas), l’éditeur de la version moderne de référence des Éléments, en cite aussi, mais là encore, les références manquent.
Attestations et témoignages antiques Pour les références antiques aux Éléments, le B. Vitrac, Préalables à une nouvelle édition critique des Éléments d’Euclide, p.56, est celui contenu dans les fragments du Sur la géométrie de Démétrius Lacon (circa 150-) présents dans le Papyrus Herculanum 1061Thomas Bénatouïl « Les critiques épicuriennes de la géométrie ». P. E. Bour, M. Rebuschi et L. Rollet. Construction. Festschrift for Gerhard Heinzmann, College Publications (London), pp.151-162, 2010, Tribute [hal-00563545 https://hal.science/hal-00563545/document]Le détail du papyrus Papyrus Herculanum 1061 est donné dans l’article Géométrie ou Géométries antiques de Joelle Delattre, IREM de Lille, page 106 : (-) où sont évoquées les propositions 3, 9 et 10 du livre I des Éléments, qui concernent la bissection d’un angle et la bissection d’un segment de droite.
Les autres citations antiques de Euclide (et proches chronologiquement de l’auteur) sont : La préface d'Apollonios de Perga au premier livre des Coniques cite EuclideJ. L Heiberg, Apollonii Pergaei quae Graece exstant cum commentariis antiquis [Eutocius], I-II, coll. BT, Leipzig 1891-1893; réimpr. Stuttgart 1974, p. 4, 13-16 . C’est l’une des plus anciennes sinon la plus ancienne mention du nom d’Euclide, écrit B. Vitrac.. Cicéron dans De Oratore, , livre III, chapitre XXXIII écrit : « Num geometriam Euclide aut Archimede » que l'on traduit par « pendant qu’Euclide et Archimède cultivaient la géométrie ».. Cette maigre citation prouve qu’au premier siècle avant l’ère commune, Euclide et Archimède étaient les deux références en matière de géométrie dans le bassin méditerranéen. Aucune traduction latine de cette époque n'est cependant connue.
Altérations antiques du texte original Les principales modifications volontaires (par opposition aux erreurs de copies et traduction) du texte lors de l’antiquité ont été apportées par : Héron d’Alexandrie : « Le candidat […] pour [l’]introduction d’un premier cas additionnel est Héron () car on sait : (i) qu’il a proposé des altérations au texte des Éléments dans son commentaire (le plus ancien connu de nous), (ii) notamment l’ajout de cas de figures (dans le Livre III) et (iii) qu’il est attentif aux possibilités de renforcer la structure déductive du texte (confer sa version du Livre II) (iv) que les suggestions éditoriales de Héron ont été connues des savants arabophones »B. Vitrac, Préalables à une nouvelle édition critique des Éléments d’Euclide, p107, . Pappus d’Alexandrie (début du ), auteur des scholies les plus anciennesB. Vitrac, Préalables à une nouvelle édition critique des Éléments d’Euclide, p57, .