En mathématiques récréatives, le problème de la chèvre est le nom donné à divers problèmes concernant la superficie qu'une chèvre attachée à un pieu peut brouter en liaison avec la longueur de sa corde, dans diverses situations. On présente ici deux variantes classiques, ayant la particularité rare en mathématiques récréatives d'obliger à résoudre des équations non algébriques, la première demandant de surcroît un calcul d'aire non élémentaire. On trouvera dans les références suivantes de nombreuses autres variantesMichael E. Hoffman, "The bull and the silo: an application of curvature," American Mathematical Monthly 105 (1998), 55–58.
Première variante : chèvre attachée à une tour
Énoncé Une chèvre est attachée à une tour circulaire (ou un silo) de rayon située dans un champ. Sachant que sa corde est de longueur , quelle superficie d'herbe pourra-t-elle brouter ?
Réponse Si est inférieure ou égale à , la superficie atteignable vaut .
Pour , il faut retrancher à cette valeur , où , .
Pour une longueur de corde égale à la circonférence de la tour, on trouve par exemple . Cela donne une surface de broutage égale à carrés pour le problème historique ci-après. vignette
Historique Ce problème a été publié dans l'édition de 1748 de la revue annuelle anglaise The Ladies' Diary, sous la question attribuée à un certain Upnorensis :
Un cheval se trouvant dans un parc, avec l'extrémité d'une corde attachée à son pied avant, et l'autre extrémité à une clôture circulaire métallique entourant un étang de circonférence 160 yards, égale à la longueur de la corde, quelle superficie au plus le cheval peut-il brouter?
L'aire balayée par la corde est formée d'un demi-disque de rayon L et de deux fois l'aire balayée par le segment tangent au cercle dont l'extrémité décrit la développante de cercle d'équation
, pour allant de 0 à .
D'après le théorème de Mamikon, cette aire est la même que si la corde était attachée à un point fixe, autrement dit, l'aire balayée par le vecteur
.
À un changement de repère près, cette aire est celle décrite par le rayon vecteur de la spirale d'Archimède d'équation polaire , pour allant de allant de 0 à . En utilisant la formule de l'aire en polaires , on trouve .
D'où l'aire balayée totale : .
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En utilisant les notations de la figure ci-contre, l'aire de la zone 1 vaut , et celle de la zone 2+3+4 vaut toujours , or il faut retirer maintenant la zone 4.
On trouve (voir plus loin) que la zone 4+5 vaut où est solution de , ( sur la figure).
La zone 5 vaut évidemment .
Donc l'aire de broutage est égale à où .
Démonstration du calcul de l'aire de la zone 4+5
Il s'agit de l'aire balayée par le rayon vecteur du point de départ de la développante à un angle .
Or en coordonnées polaires, celle-ci a pour paramétrisation
L'aire est donc égale à , qui s'intègre en , d'où le résultat.
Deuxième variante : chèvre pouvant brouter la moitié du pré
Énoncé Un chèvre étant attachée à un pieu situé à la circonférence d'un pré circulaire de rayon , quelle doit être la longueur de sa corde pour qu'elle n'ait accès qu'à la moitié de la surface du pré?
Réponse où est solution de d'où
Les décimales de sont données par la , et celles de par la .
Historique Le problème a été publié sans habillage animalier en 1894 dans la première édition de la célèbre revue American Mathematical Monthly. Attribué à Charles E. Myers, il a été rédigé comme suit :
Un cercle renfermant un acre est coupé par un autre dont le centre est sur la circonférence du cercle donné, et l'aire commune aux deux est d'un demi-acre. Trouver le rayon du cercle de coupe. vignette|300x300px
Démonstration trigonométrique Avec les notations de la figure, l'angle , noté , est Le double de l'angle , d'après le théorème de l'angle inscrit ; ce dernier vaut donc /2, et l'angle vaut . L'aire du secteur de cercle vaut donc ; comme , cette aire vaut .
L'aire du segment de disque bleu est égale à l'aire du secteur moins celle du triangle , soit .
L'aire de broutage égale à la moitié de celle du pré s'exprime donc par la relation , laquelle se simplifie en :
, avec .
Posant , on obtient bien :
, avec .
Utilisation de la formule de l'aire d'une lentille L'aire d'une lentille intersection de deux disques s'exprime en fonction des rayons et et de la distance entre les centres par la formule :
avec
On est ici dans le cas , et exprimer que donne l'équation :
où .
Lien externe , présentant les deux variantes .
Références
Catégorie:Jeu mathématique Catégorie:Mathématiques récréatives