thumb|Un arc de cercle (parme) de rayon et de longueur , avec son angle au centre , sa corde 2 et sa flèche .
Un arc de cercle est une portion de cercle limitée par deux points. Deux points A et B d'un cercle découpent celui-ci en deux arcs. Quand les points ne sont pas diamétralement opposés, l'un des arcs est plus petit qu'un demi-cercle et l'autre plus grand qu'un demi-cercle. Le plus petit des arcs est, en général, noté et l'autre parfois noté .
Vocabulaire vignette|Arcs de cercle délimités par deux points N et W: en orange, l'arc de cercle associé à l'angle au centre saillant, en vert celui associé à l'angle au centre rentrant.
On considère un cercle de centre , et un arc d'extrémités et . le segment [] est appelée une corde. On dit qu'elle sous-tend l'arc et que l'arc est sous-tendu par la corde []. la droite passant par le milieu de la corde et perpendiculaire à celle-ci s'appelle la flèche. On appelle aussi flèche la distance entre le milieu de la corde et le milieu de l'arc. Les termes d'arc, corde et flèche sont directement inspirés du dessin que forment ces trois éléments et qui ressemble à l'arc de l'archerÉtienne Auguste TARNIER, Éléments de Géométrie pratique, conformes au programme de l'enseignement secondaire spécial, 1872, p.35.. Le secteur angulaire délimité par les demi-droites [) et [) et contenant l'arc est appelant angle au centre interceptant l'arc . On parle aussi d'angle au centre pour la mesure de ce secteur angulaire. Si l'arc est plus grand qu'un demi-cercle, son angle au centre est plus grand qu'un angle plat et il est dit rentrant. Dans le cas contraire, l'angle au centre est saillant. Les deux angles sont supplémentaires. Si est un point du cercle non situé sur l'arc , le secteur angulaire délimité par les demi-droites [) et [) et contenant l'arc est appelé angle inscrit interceptant l'arc . Le théorème de l'angle inscrit et de l'angle au centre permet de dire que la valeur de l'angle inscrit interceptant l'arc est indépendante de la position du point . L'ensemble des points tels que est un arc de cercle d'angle au centre 2 et portant le nom d'arc capable. La portion de plan comprise entre un arc et sa corde est un segment circulaire. La portion de plan comprise entre l'arc et les segments [] et [] est un secteur circulaire. En dimension trois, si on fait tourner un arc de cercle autour d'un diamètre du cercle, on obtient une portion de sphère appelée zone sphérique.
Dimensions La longueur d'un arc de cercle de rayon et d'angle au centre (mesuré en radians) est égale à .
En effet, la longueur de l'arc étant proportionnelle à l'angle au centre on a :
en substituant la circonférence :
et en isolant :
Si l'angle est exprimé en degrés , sa mesure en radians est donnée par la relation :
et donc la longueur de l'arc vaut également (quand l'angle est en degrés) :
Les longueurs 2 et de la corde et la flèche valent :
où versin est la fonction sinus verse.
La distance entre la corde et le centre est:
La connaissance de deux des cinq valeurs : rayon, corde, flèche, longueur et angle au centre; permet, à une exception prèsUne corde sous-tendant deux arcs de cercle supplémentaires, la donnée de la corde et du rayon ne permet pas de préciser de quel arc il s'agit., de déterminer les trois autres : Rayon Corde Flèche Longueur Angle au centre 2 2 ou ou 2 2 t.q. 2 t.q.
Centre de gravité Le centre de gravité d'un arc de cercle est situé sur l'axe de symétrie de cet arc (sur la flèche) et à une distance du centre égale à p.16 . Soit:
Notes et références
Voir aussi Articles connexes Cercle Triangle sphérique Triangle de Reuleaux et polygones de Reuleaux Liens externes Blaise Pascal, (alias A. Dettonville), Traité des arcs de cercles, 1658-9, souvent inclus dans le traité de la roulette où Pascal explore les prémices de ce qui deviendra le calcul infinitésimal en découpant un arc de cercle en une infinité de petits morceaux (une explication de la démarche est exposée dans Un calcul intégral chez Pascal, sur le site de l'académie de Bordeaux.
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