vignette|Un angle vert formé par deux demi-droites rouges dans le repère cartésien. En géométrie, la notion générale d'angle se décline en plusieurs concepts.
Dans son sens ancien, l'angle est une figure plane, portion de plan délimitée par deux demi-droites. C'est ainsi qu'on parle des angles d'un polygone. Cependant, l'usage est maintenant d'employer le terme « secteur angulaire » pour une telle figure. L'angle peut désigner également une portion de l'espace délimitée par deux plans (angle dièdre). La mesure de tels angles porte couramment mais abusivement le nom d'angle, elle aussi.
En un sens plus abstrait, l'angle est une classe d'équivalence, c'est-à-dire un ensemble obtenu en assimilant entre eux tous les angles-figures identifiables par isométrie. L'une quelconque des figures identifiées est alors appelée représentant de l'angle. Tous ces représentants ayant même mesure, on peut parler de mesure de l'angle abstrait.
Il est possible de définir une notion d'angle orienté en géométrie euclidienne du plan, ainsi que d'étendre la notion d'angle au cadre des espaces vectoriels préhilbertiens ou des variétés riemanniennes.
Il y a plusieurs sortes d'angles : Angle droit, Angle aigu et Angle obtus.
La notion d'angle entre deux demi-droites s'étend à celle d'angle entre deux droites, ainsi qu'à celle d'angle entre deux courbes : c'est l'angle que forment les tangentes à ces courbes en leur point commun.
Histoire
Le mot angle dérive du latin angulus, mot qui signifie « le coin ». Selon le mathématicien Carpos d'Antioche, l'angle est une quantité et l'intervalle des lignes ou des surfaces qui le comprennent ; cet intervalle est dimensionné d'une seule manière, et pourtant l'angle n'est pas une ligne pour cela.
Par ailleurs, l'angle de mur est un hiéroglyphe égyptien.
L'angle comme figure du plan ou de l'espace Secteur angulaire et angle vignette|gauche|Angle saillant α et angle rentrant β déterminés par deux demi-droites. Dans le plan, deux demi-droites de même origine délimitent deux régions, appelées secteurs angulaires.
On dit que deux secteurs angulaires définissent le même angle lorsqu'ils sont superposables (plus formellement : l'angle d'un secteur angulaire est sa classe de congruence). On parle traditionnellement d'angle géométrique pour cette notion d'angle. mais ce terme peut aussi désigner, dans la terminologie moderne, une notion voisine moins fine .
Un angle est dit saillant si les secteurs angulaires qui le représentent sont convexes, et rentrant sinon.
Une paire de demi-droites de même origine définit donc en général deux angles : l'un saillant et l'autre rentrant (le cas exceptionnel est celui de l'angle plat).
thumb|Les quatre secteurs angulaires saillants obtenus par intersection des demi-plans délimités par deux droites sécantes. Angles entre deux droites Dans le plan, on peut parler de l'angle de deux droites sécantes. Deux droites sécantes découpent le plan en 4 secteurs angulaires saillants, correspondant à deux paires d'angles opposés par le sommet. Les angles opposés sont de même mesure et les angles adjacents sont supplémentairesNadine Jacob, Claude Courivaud, Mathématiques. Troisième, Séquence Brevet, Bréal, p. 200. Il y a en général deux valeurs possibles pour ces angles ; on choisit parfois de privilégier celui qui a la plus petite mesure, c'est-à-dire l'angle aigu ou droit.
Valeur d'un angle
La mesure de l'angle d'un secteur angulaire est le nombre réel positif qui mesure la proportion du plan occupée par le secteur angulaire. Les unités utilisées pour le quantifier sont le radian, le quadrant et ses subdivisions, le degré, ses sous-unités et le grade. Les angles sont fréquemment notés par une lettre grecque minuscule, par exemple α, β, θ, ρ… Lorsque l'angle est au sommet d'un polygone et qu'il n'y a pas d'ambiguïté, on utilise alors le nom du sommet surmonté d'un chapeau, par exemple Â.
left|thumb|On mesure l'angle d'un secteur angulaire par la proportion de la portion d'un disque ou d'un cercle centré sur l'origine des deux demi-droites. Pour évaluer cet angle, cette « proportion de surface », on prend un disque centré au point d'intersection, et on effectue le rapport entre l'aire de la portion de disque interceptée par le secteur angulaire et l'aire totale du disque. On peut montrer que cela revient également à faire le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et la circonférence du cercle ; cette valeur inférieure à 1 est appelée nombre de tour. La valeur 1/4 (quart de tour) correspond au quadrant.
Une unité couramment utilisée est le degré, qui est le résultat de la division du quadrant en 90 parts égales. Le tour complet correspond donc à 360 degrés. La minute d'arc est un sous-multiple du degré, égale à 1/60 de degré. De même, la seconde d'arc est égale à 1/60 de la minute d'arc, soit 1/ de degré. On utilise plus rarement le grade, qui correspond à une subdivision centésimale du quadrant.
thumb|Définition du radian, unité de mesure de l'angle. L'unité internationale de mesure des angles est cependant le radian, défini comme le rapport entre la longueur de l'arc intercepté et le rayon du cercle. Le tour complet correspond donc à radians.
Les angles peuvent être calculés à partir des longueurs des côtés de polygones, notamment de triangles, en utilisant la trigonométrie.
L'unité de mesure des angles utilisée principalement par les militaires est le millième. Il est l'angle sous lequel on voit à . 6283 millièmes correspond à 2π radians ou 360 degrés, soit /arctan(/). Autrement-dit, millième = mrad (milliradian).
« Sur le terrain », les angles peuvent être mesurés avec un appareil appelé goniomètre ; il comporte en général une règle courbe graduée en degrés, appelée rapporteur.
En informatique, le 1/ de degré peut être utilisé, soit 5760 pour 360°.
Nom des angles
Les angles correspondant à un nombre entier de quadrants portent un nom particulier. Le tableau suivant représente les valeurs des angles particuliers dans les diverses unités.
Angle Représentation Nombre de tours Nombre de quadrants Radians Degré Grade Angle plein 100px 1 tour 4 quadrants 2π rad 360° 400 gr Angle plat 100px 1/2 tour 2 quadrants π rad 180° 200 gr Angle droit 100px 1/4 de tour 1 quadrant π/ 90° 100 gr Angle nul 100px 0 tour 0 quadrant 0° 0 gr Angle rentrant 100px entre 1/2 et 1 tour entre 2 et 4 quadrants entre π et 2π rad supérieur à 180°, inférieur à 360° entre 200 et 400 gr
L'angle droit est obtenu en considérant deux droites qui divisent le plan en quatre secteurs égaux. De telles droites sont dites orthogonales ou perpendiculaires.
On confond fréquemment l'angle avec sa mesure. Ainsi par exemple un angle plat est abusivement dit « égal » à 180°. Cet abus est pratiqué largement dans la suite de cet article.
vignette|Définition des angles droit, plat, complémentaires et supplémentaires. vignette|Angles coterminaux vignette|Les différents types d'angles et leurs mesures
Les qualificatifs suivants sont employés pour les angles prenant des valeurs intermédiaires entre ces valeurs remarquables : l'angle rentrant est un angle supérieur à l'angle plat ; l'angle saillant est un angle inférieur à l'angle plat : l'angle obtus est compris entre 90° et 180°, l'angle aigu est compris entre 0° et 90°.
Pour qualifier les valeurs relatives de deux angles, on emploie les expressions suivantes : deux angles sont complémentaires quand leur somme fait ; si deux angles sont complémentaires, chacun est dit être le complément de l'autre ; deux angles sont supplémentaires quand leur somme fait .
On emploie encore d'autres expressions pour qualifier la position des angles sur une figure, c'est-à-dire plus justement, la position relative de secteurs angulaires : deux secteurs angulaires sont opposés par le sommet, lorsqu'ils ont le même sommet et que les côtés de l'un sont dans le prolongement de ceux de l'autre. Dans ce cas les angles correspondants sont égaux. deux secteurs angulaires sont adjacents lorsqu'ils ont le même sommet, un côté commun, et que leur intersection est égale à ce côté commun. Les angles s'ajoutent lorsqu'on considère la réunion de ces secteurs. les angles alternes-externes et les angles alternes-internes sont formés par deux droites coupées par une sécante. Ces angles ont la même mesure lorsque les deux droites sont parallèles.
Remarque, deux angles complémentaires ou supplémentaires ne sont pas nécessairement adjacents : Par exemple, dans un triangle ABE rectangle en B, les angles  et Ê sont complémentaires.
Par extension, on définit également les angles entre des demi-droites, des segments de droite et des vecteurs, en prolongeant les droites portant ces objets jusqu'à leur intersection. La définition par des demi-droites ou des vecteurs permet de lever l'indétermination entre les angles supplémentaires, c'est-à-dire de définir sans ambiguïté quel secteur angulaire utiliser pour définir l'inclinaison des directions.
Angle géométrique Un angle géométrique est, dans la terminologie actuelle, la classe d'équivalence d'un couple de demi-droites de même origine, deux tels couples étant considérées comme équivalents s'ils sont superposables..
Si l'on note l'angle géométrique associé au couple de demi-droites , on a (par symétrie par rapport à la bissectrice) : , c'est-à-dire que cet angle ne dépend que de la paire .
L'angle saillant et l'angle rentrant associés à une telle paire correspondent donc, avec cette nouvelle terminologie, à un même « angle géométrique », dont le représentant privilégié est l'angle saillant.. (de mesure comprise entre 0 et 180°).
On peut l'interpréter de plusieurs façons : divergence entre deux directions, directions des faces d'un objet (coin), direction visée par rapport au nord (angle donné par une boussole)… L'angle peut aussi s'interpréter comme l'ouverture du secteur angulaire. C'est la mesure de l'inclinaison d'une demi-droite par rapport à l'autre.
Si une translation transforme en et en , elle ne modifie pas l'angle géométrique : . On peut donc définir l'angle géométrique de deux vecteurs non nuls et comme l'angle entre deux demi-droites dirigées par ces deux vecteurs, et d'origine commune arbitraire. Ou encore : deux couples et de vecteurs non nuls sont équivalents (représentent le même angle géométrique) s'il existe une isométrie vectorielle qui transforme les vecteurs unitaires et en et . (On définit bien ainsi une relation d'équivalence entre couples, parce que les isométries vectorielles forment un groupe.)
Angles orientés dans le plan Une approche multiple thumb|upright=2.5|Sur chacune des quatre figures, la flèche bleue et la verte représentent un même angle orienté, par un secteur angulaire muni de l'indication du sens dans lequel il est « balayé » (l'ordre entre les deux demi-droites). Les angles des deux figures de droite sont différents de ceux de gauche car les « sens de balayage » sont inversés. Cette inversion transforme un angle en son opposé dans le groupe des angles orientés .
La présentation des angles orientés dans un plan peut se faire de manière intuitive ou plus formaliste.
La première approche consiste à voir l'angle comme la trace d'une rotation : la rotation qui envoie la demi-droite (Ox) sur la demi-droite (Oy) est en général différente de celle envoyant (Oy) sur (Ox). On considère alors comme distincts les angles (Ox, Oy) et (Oy, Ox) en signalant qu'ils ont même mesure mais des sens de parcours différents Cette présentation est celle que l'on trouve par exemple dans l'enseignement français en classe de quatrième en 1988 IREM de Strasbourg, Mathématiques - 4ème -collectinn Istra, p. 236).