En mathématiques, on associe à un polytope entier (c'est-à-dire à un polytope convexe dont les coordonnées des sommets sont entières) son polynôme d'Ehrhart (étudié par vers 1960), lequel décrit une relation entre le volume du polytope et le nombre des points à coordonnées entières qu'il contient. La théorie de ces polynômes peut être vue comme une généralisation du théorème de Pick en dimension supérieure.
Définition L'idée de la construction de Ehrhart est de considérer comme fonction de t le nombre de points entiers intérieurs à un polytope obtenu par homothétie par un facteur t du polytope étudié.
Plus précisément, soit un réseau de l'espace euclidien et un polytope de dont tous les sommets sont des points du réseau (par exemple , on utilise fréquemment le réseau et des polytopes dont tous les sommets ont des coordonnées entières), engendrant un sous-espace affine de dimension ( est appelé la dimension de ). Pour tout entier positif , soit le polytope obtenu par dilatation de par un facteur , c'est-à-dire le polytope obtenu en multipliant par les coordonnées de tous les sommets (exprimés dans une base du réseau, et soit le nombre de points du réseau contenus dans le polytope . montra en 1962 que est un polynôme en de degré , c'est-à-dire qu'il existe des nombres rationnels tels que pour tout entier .
Le polynôme d'Ehrhart de l'intérieur d'un polytope convexe de dimension vérifie résultat connu sous le nom de réciprocité d'Ehrhart–Macdonald.
Exemples
Soit un hypercube unité de dimension , dont les sommets sont les points dont toutes les coordonnées valent 0 ou 1, autrement dit
La dilatation de par est un hypercube de côté , contenant points entiers, et donc le polynôme d'Ehrhart de est ... On voit aussi qu'aux entiers négatifs, on a comme le prédit la réciprocité d'Ehrhart–Macdonald.
Bien d'autres nombres figurés peuvent s'exprimer à l'aide de polynômes d'Ehrhart. Par exemple, les nombres pyramidaux carrés sont donnés par le polynôme d'Ehrhart d'une pyramide à base carrée de côtés et de hauteur 1 ; le polynôme d'Ehrhart est dans ce cas ..
Quasi-polynômes d'Ehrhart Soit un polytope rationnel convexe, c'est-à-dire que avec et (cela revient à dire que est l'enveloppe convexe d'un ensemble fini de points de ). Posons , le nombre de points entiers contenus dans . Dans ce cas, est un en , c'est-à-dire que , où les sont des fonctions périodiques de période entière. La loi de réciprocité d'Ehrhart–Macdonald est encore valable : on a .
Exemple de quasi-polynôme d'Ehrhart Soit un quadrilatère de sommets (0,0), (0,2), (1,1) et (, 0). Le nombre de points entiers dans est donné par le quasi-polynôme .
Interprétation des coefficients Si est fermé (c'est-à-dire que les faces de la frontière appartiennent à ), certains coefficients de ont une interprétation simple : le coefficient dominant, , est égal au volume -dimensionnel de , divisé par , le covolume du réseau ; le second coefficient, , peut se calculer en partant des réseaux induits par sur les faces de : est obtenu en divisant le (d-1)-volume de chaque face par , et en faisant la somme de ces nombres pour toutes les faces de ; le coefficient constant est la caractéristique d'Euler de ; dans le cas convexe et fermé, on a
Séries d'Ehrhart La série génératrice des polynômes d'Ehrhart pour un polytope de dimension est .
Cette série est une fraction rationnelle ; plus précisément, Ehrhart a démontré qu'il existe des nombres complexes (dépendants de ) tels que
De plus, le théorème de non-négativité de Richard Stanley affirme que sous ces hypothèses, les sont des entiers naturels.
Un autre résultat de Stanley montre que si iest un polytope contenu dans (sur le même réseau, on a pour tout .
Séries d'Ehrhart pour des polytopes rationnels On peut également définir des séries analogues pour un polytope rationnel de dimension . Appelant ile plus petit entier tel que soit un polytope entier ( est appelé le dénominateur de ), on a la formule
où les sont encore des entiers naturels.
Bornes pour les coefficients On peut déterminer des bornes pour les coefficients non dominants de la représentation : on a par exemple , où est un nombre de Stirling de première espèce ; des bornes inférieures existent également
Notes et références
Bibliographie
Catégorie:Nombre figuré Catégorie:Polynôme Catégorie:Réseau (mathématiques) Catégorie:Polytope