vignette|upright=2|La distance du point A au plan P est AH. Cette distance est inférieure à AM et AM' Dans l'espace euclidien, la distance d'un point à un plan est la plus courte distance séparant ce point et un point du plan. Le théorème de Pythagore permet d'affirmer que la distance du point A au plan (P) correspond à la distance séparant A de son projeté orthogonal H sur le plan (P).
Si l'espace est muni d'un repère orthonormal, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.
Soit dans l'espace: Le point A de coordonnées Un point M quelconque du plan P Le projeté orthogonal H de A sur P, noté Le plan P d'équation cartésienne: ax + by + cz + d = 0 un vecteur normal au plan P
Alors la distance du point A au plan P notée vaut :
d'où,
Démonstration
Premièrement, on sait que les vecteurs et sont colinéaires, on peut donc écrire :
ce qui revient à,
Deuxièmement, donc:
Ceci revient à résoudre le système suivant:
La substitution des coordonnées de H dans la par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire : . ou encore : . P étant un plan, a, b, c ne sont pas tous nuls : on a
Finalement, la distance de A à P n'est autre que la longueur du vecteur , donc :
soit et enfin Ceci termine la preuve.
Voir aussi
La notion de distance en mathématiques Propriétés métriques des droites et plans la projection orthogonale Distance d'un point à une droite Distance entre deux droites gauches
Point a plan