Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à démontrer que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction , avec et entiers non nuls. Au , Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich. La plupart sont des preuves par l'absurde ou par contraposition.
En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que est non seulement irrationnel, mais transcendant.
Preuve de Lambert
En 1761, Lambert, par Alain Juhel. prouve que est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en fraction continue généralisée suivant de la fonction tangente :
en utilisant les développements en série entière des fonctions cosinus et sinus.
Ensuite, Lambert montre que si est non nul et rationnel alors est irrationnel. Or, comme , il en déduit que est irrationnel et donc que est irrationnel.
Historiquement, cette démonstration fut le premier pas vers celle de l'impossibilité de la quadrature du cercle.
Preuve de Hermite Rédigée en 1873 ()., cette preuve utilise la caractérisation de comme plus petite solution positive de l'équation et montre en fait que 2 lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde.
Hermite définit par récurrence. une suite de fonctions réelles : . Des
où est un polynôme et , il déduit que
où , étant un polynôme à coefficients entiers de degré égal à la partie entière de .
Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de :
Il en déduit au passage que les fonctions vérifient .
Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les fonctions de Bessel de première espèce :
mais c'est sans doute cette relation qui lui fournit la formule explicite suivanteOn peut aussi la vérifier directement, par exemple en démontrant par récurrence que , mais détaille deux autres méthodes. : .
Si , avec et deux entiers alors pour tout entier pair , le nombre est égal à l'entier . Soit :
Cependant, le terme de droite est non nul et tend vers 0 quand tend vers l'infini. Il y a donc contradiction, montrant que ne peut pas être rationnel, donc non plus.
Lien avec la preuve de Lambert Comme le signale Hermite., sa fonction est le numérateur de la -ième réduite du développement par Lambert de , le dénominateur étant , car ces deux fonctions vérifient la relation de récurrence découverte par Lambert : . Hermite en déduit au passage ce qu'il appelle , qui équivaut à l'équation différentielle de Bessel usuelle, via le lien avec signalé ci-dessus.
Hermite ne présente pas sa démonstration comme une fin en soi, mais comme un sous-produit de sa recherche d'une preuve de la transcendance de , comme il le fit la même année dans sa preuve de la transcendance de . Il utilise surtout les relations de récurrence pour motiver et obtenir une représentation intégrale convenable.
Preuve de Cartwright Cartwright a extrait de la preuve de Hermite un exemple pour un examen de l'université de Cambridge en 1945..
Elle considère directement les variantes suivantes des intégrales de Hermite : .
Par une double intégration par parties, elle obtient la relation de récurrence .
En posant , cette relation de récurrence devient celle de Lambert , aux notations près () :
De plus, et . Donc, pour tout entier positif,
où et sont des polynômes (sic) à coefficients entiers.
Cette analyse des polynômes qui apparaissent est moins fine que celle de Hermite, mais va suffire pour démontrer l'irrationalité de (et non celle de ).
On prend maintenant , et l'on suppose donc qu'il existe deux entiers et tels que . Alors :
Le terme de droite est entier. Cependant, le terme de gauche est non nul et tend vers 0 quand tend vers l'infini. Il y a donc contradiction.
Preuve de Niven Niven. suppose que est rationnel, donc de la forme avec et entiers strictement positifs. Pour un entier positif , il définit deux polynômes :
et
Il remarque d'abord que est un entier. En effet, le polynôme est à coefficients entiers, et nuls en degrés . Ainsi, et ses dérivées prennent des valeurs entières en , donc aussi en puisque . Il établit ensuite que Pour aboutir au même résultat, , exercice 5, suggère une (sic…).. En effet, comme l'avait remarqué Hermite , . Enfin, pour , donc pour suffisamment grand, ce qui est impossible.
Lien avec la preuve de Hermite La preuve de Niven est plus proche de celle de Hermite qu'elle ne le semble de prime abord : d'une part par sa réutilisation de la « formule élémentaire » de Hermite ; d'autre part parce qu'un changement de variable dans la formule explicite et l'évaluation en donnent :
Preuve de Laczkovich La preuve de Laczkovich est à la fois une généralisation et une simplification de celle de Lambert. : généralisationDéjà mentionnée en 1922 par . parce qu'elle porte (comme celle d'Oskar Perron. 90 ans plus tôt) sur une famille de fractions continues de Gauss dont celles de Lambert pour tangente et tangente hyperbolique font partie, et simplification parce qu'elle évite les considérations de convergence.
Laczkovich considère la famille de fonctions hypergéométriques . Ces fonctions entières sont définies pour tout nombre complexe et l'on a en particulier .
Ces fonctions sont liées aux fonctions de Bessel de première espèce par : (où désigne la fonction gamma) donc : elles vérifient la relation de récurrence : ; et ne peuvent pas être simultanément nuls ; pour fixé, quand .
Laczkovich redémontre alors que pour tout non nul tel que est rationnel, on a
En termes des fonctions de Bessel , ce résultat se réécrit : pour tout non nul tel que est rationnel, on a
En particulier (pour ) : pour tout non nul tel que est rationnel, est non nul et est irrationnel.
Puisque , ce dernier résultat montre que est irrationnel et donc que est irrationnel.
Une autre conséquence est le résultat de Lambert : la tangente de tout rationnel non nul est un irrationnel.
Notes et références
Article connexe Preuve de l'irrationalité de
Catégorie:Pi Irrationalité de Pi