En algèbre, le lemme d'Artin-Tate énonce David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995 , Exercise 4.32. :
(Ici, « de type fini » signifie « algèbre de type fini » et « fini » signifie « module de type fini ».)
Ce lemme a été introduit par Emil Artin et John Tate en 1951E. Artin et J. T Tate, « A note on finite ring extensions », J. Math. Soc. Japan, vol. 3, 1951, p. 74-77. pour donner une preuve du théorème des zéros de Hilbert.
Le lemme est similaire au théorème d'Eakin-Nagata, qui dit que : si C est fini sur B et C est un anneau noethérien, alors B est un anneau noethérien.
Preuve La preuve suivante peut être trouvée dans Atiyah-MacDonald, Proposition 7.8.. Soient engendrant en tant que -algèbre et soient engendrant comme -module. On peut alors écrire
avec . Alors est fini (engendré par ) sur la -algèbre engendrée par les . En utilisant le fait que et donc sont noethériens, le sous-module est lui aussi fini sur . Puisque est de type fini en tant que -algèbre, est aussi une -algèbre de type fini.
Nécessité de la noethérianité Sans l'hypothèse que A est noethérien, l'énoncé du lemme d'Artin-Tate n'est plus vrai. En effet, pour tout anneau A non noethérien, on peut définir une structure de A-algèbre sur en posant . Alors pour tout idéal qui n'est pas de type fini, n'est pas de type fini sur A, bien que toutes les autres hypothèses du lemme soient satisfaites.
Références
Voir aussi Article connexe Élément entier Lien externe http://commalg.subwiki.org/wiki/Artin-Tate_lemma
Catégorie:Algèbre commutative